Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28269 / 43664
↖ ↑ ↗
← S 51.234407°
W 24.713745°		 ← 382.44 m → S 51.234407°
W 24.708252°		 →
↑
382.45 m
↓
↑
382.45 m
↓
S 51.237847°
W 24.713745°		 ← 382.41 m →
146 258 m²		 S 51.237847°
W 24.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431358337402344 y=0.666267395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431358337402344 × 216)
    floor (0.431358337402344 × 65536)
    floor (28269.5)     		tx = 28269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666267395019531 × 216)
    floor (0.666267395019531 × 65536)
    floor (43664.5)     		ty = 43664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28269 / 43664 ti = "16/28269/43664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28269/43664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28269 ÷ 216
    28269 ÷ 65536     		x = 0.431350708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43664 ÷ 216
    43664 ÷ 65536     		y = 0.666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431350708007812 × 2 - 1) × π
    -0.137298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43133622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43133622} λ = -0.43133622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04464091652026))-π/2
    2×atan(0.351818128776816)-π/2
    2×0.33829361410979-π/2
    0.67658722821958-1.57079632675     		φ = -0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43133622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.713745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28269 KachelY 43664 -0.43133622 -0.89420910 -24.713745 -51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 28270 KachelY 43664 -0.43124035 -0.89420910 -24.708252 -51.234407
    Unten links KachelX 28269 KachelY + 1 43665 -0.43133622 -0.89426913 -24.713745 -51.237847
    Unten rechts KachelX + 1 28270 KachelY + 1 43665 -0.43124035 -0.89426913 -24.708252 -51.237847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89420910--0.89426913) × R
    6.00299999999887e-05 × 6371000     		dl = 382.451129999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89420910--0.89426913) × R
    6.00299999999887e-05 × 6371000     		dr = 382.451129999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43133622--0.43124035) × cos(-0.89420910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 382.436020622034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43133622--0.43124035) × cos(-0.89426913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626088880684499 × 6371000     		du = 382.407431255073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89420910)-sin(-0.89426913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.626088880684499)×R²
    abs(-0.43124035--0.43133622)×4.68073664290358e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68073664290358e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68073664290358e-05×40589641000000     		ar = 146257.621265602m²