Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28268 / 43663
↖ ↑ ↗
← S 51.230968°
W 24.719238°		 ← 382.50 m → S 51.230968°
W 24.713745°		 →
↑
382.45 m
↓
↑
382.45 m
↓
S 51.234407°
W 24.719238°		 ← 382.48 m →
146 284 m²		 S 51.234407°
W 24.713745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431343078613281 y=0.666252136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431343078613281 × 216)
    floor (0.431343078613281 × 65536)
    floor (28268.5)     		tx = 28268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666252136230469 × 216)
    floor (0.666252136230469 × 65536)
    floor (43663.5)     		ty = 43663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28268 / 43663 ti = "16/28268/43663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28268/43663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28268 ÷ 216
    28268 ÷ 65536     		x = 0.43133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43663 ÷ 216
    43663 ÷ 65536     		y = 0.666244506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.1373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43143210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666244506835938 × 2 - 1) × π
    -0.332489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04454504272102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43143210} λ = -0.43143210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04454504272102))-π/2
    2×atan(0.351851860534433)-π/2
    2×0.338323630235353-π/2
    0.676647260470706-1.57079632675     		φ = -0.89414907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43143210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89414907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.230968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28268 KachelY 43663 -0.43143210 -0.89414907 -24.719238 -51.230968
    Oben rechts KachelX + 1 28269 KachelY 43663 -0.43133622 -0.89414907 -24.713745 -51.230968
    Unten links KachelX 28268 KachelY + 1 43664 -0.43143210 -0.89420910 -24.719238 -51.234407
    Unten rechts KachelX + 1 28269 KachelY + 1 43664 -0.43133622 -0.89420910 -24.713745 -51.234407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89414907--0.89420910) × R
    6.00299999999887e-05 × 6371000     		dl = 382.451129999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89414907--0.89420910) × R
    6.00299999999887e-05 × 6371000     		dr = 382.451129999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43143210--0.43133622) × cos(-0.89414907) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626182493161014 × 6371000     		do = 382.504502697466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43143210--0.43133622) × cos(-0.89420910) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626135688050928 × 6371000     		du = 382.475911726698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89414907)-sin(-0.89420910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626182493161014-0.626135688050928)×R²
    abs(-0.43133622--0.43143210)×4.68051100860345e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68051100860345e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68051100860345e-05×40589641000000     		ar = 146283.812006201m²