Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28267 / 8004
↖ ↑ ↗
← N 79.363646°
W 24.724731°		 ← 112.74 m → N 79.363646°
W 24.719238°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
N 79.362632°
W 24.724731°		 ← 112.75 m →
12 713 m²		 N 79.362632°
W 24.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431327819824219 y=0.122138977050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431327819824219 × 216)
    floor (0.431327819824219 × 65536)
    floor (28267.5)     		tx = 28267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122138977050781 × 216)
    floor (0.122138977050781 × 65536)
    floor (8004.5)     		ty = 8004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28267 / 8004 ti = "16/28267/8004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28267/8004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28267 ÷ 216
    28267 ÷ 65536     		x = 0.431320190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8004 ÷ 216
    8004 ÷ 65536     		y = 0.12213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431320190429688 × 2 - 1) × π
    -0.137359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43152797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12213134765625 × 2 - 1) × π
    0.7557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37421876438214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43152797} λ = -0.43152797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37421876438214))-π/2
    2×atan(10.7426173916212)-π/2
    2×1.47797662740388-π/2
    2.95595325480775-1.57079632675     		φ = 1.38515693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43152797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.724731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38515693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.363646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28267 KachelY 8004 -0.43152797 1.38515693 -24.724731 79.363646
    Oben rechts KachelX + 1 28268 KachelY 8004 -0.43143210 1.38515693 -24.719238 79.363646
    Unten links KachelX 28267 KachelY + 1 8005 -0.43152797 1.38513923 -24.724731 79.362632
    Unten rechts KachelX + 1 28268 KachelY + 1 8005 -0.43143210 1.38513923 -24.719238 79.362632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38515693-1.38513923) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dl = 112.766699999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38515693-1.38513923) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dr = 112.766699999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43152797--0.43143210) × cos(1.38515693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184574982172189 × 6371000     		do = 112.736141758738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43152797--0.43143210) × cos(1.38513923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184592378029572 × 6371000     		du = 112.746766935677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38515693)-sin(1.38513923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184574982172189-0.184592378029572)×R²
    abs(-0.43143210--0.43152797)×1.73958573837507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73958573837507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73958573837507e-05×40589641000000     		ar = 12713.481760193m²