Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28267 / 8003
↖ ↑ ↗
← N 79.364660°
W 24.724731°		 ← 112.73 m → N 79.364660°
W 24.719238°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
N 79.363646°
W 24.724731°		 ← 112.74 m →
12 705 m²		 N 79.363646°
W 24.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431327819824219 y=0.122123718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431327819824219 × 216)
    floor (0.431327819824219 × 65536)
    floor (28267.5)     		tx = 28267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122123718261719 × 216)
    floor (0.122123718261719 × 65536)
    floor (8003.5)     		ty = 8003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28267 / 8003 ti = "16/28267/8003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28267/8003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28267 ÷ 216
    28267 ÷ 65536     		x = 0.431320190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8003 ÷ 216
    8003 ÷ 65536     		y = 0.122116088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431320190429688 × 2 - 1) × π
    -0.137359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43152797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122116088867188 × 2 - 1) × π
    0.755767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37431463818138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43152797} λ = -0.43152797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37431463818138))-π/2
    2×atan(10.7436473765378)-π/2
    2×1.47798547493952-π/2
    2.95597094987904-1.57079632675     		φ = 1.38517462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43152797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.724731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38517462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.364660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28267 KachelY 8003 -0.43152797 1.38517462 -24.724731 79.364660
    Oben rechts KachelX + 1 28268 KachelY 8003 -0.43143210 1.38517462 -24.719238 79.364660
    Unten links KachelX 28267 KachelY + 1 8004 -0.43152797 1.38515693 -24.724731 79.363646
    Unten rechts KachelX + 1 28268 KachelY + 1 8004 -0.43143210 1.38515693 -24.719238 79.363646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38517462-1.38515693) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38517462-1.38515693) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43152797--0.43143210) × cos(1.38517462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184557596085196 × 6371000     		do = 112.725522549435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43152797--0.43143210) × cos(1.38515693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184574982172189 × 6371000     		du = 112.736141758738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38517462)-sin(1.38515693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184557596085196-0.184574982172189)×R²
    abs(-0.43143210--0.43152797)×1.73860869923104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73860869923104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73860869923104e-05×40589641000000     		ar = 12705.101849369m²