Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28266 / 14904
↖ ↑ ↗
← N 69.549877°
W 24.730224°		 ← 213.40 m → N 69.549877°
W 24.724731°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
N 69.547958°
W 24.730224°		 ← 213.42 m →
45 549 m²		 N 69.547958°
W 24.724731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431312561035156 y=0.227424621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431312561035156 × 216)
    floor (0.431312561035156 × 65536)
    floor (28266.5)     		tx = 28266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227424621582031 × 216)
    floor (0.227424621582031 × 65536)
    floor (14904.5)     		ty = 14904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28266 / 14904 ti = "16/28266/14904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28266/14904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28266 ÷ 216
    28266 ÷ 65536     		x = 0.431304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14904 ÷ 216
    14904 ÷ 65536     		y = 0.2274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431304931640625 × 2 - 1) × π
    -0.13739013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43162384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2274169921875 × 2 - 1) × π
    0.545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71268954962537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43162384} λ = -0.43162384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71268954962537))-π/2
    2×atan(5.54385190919609)-π/2
    2×1.3923353398645-π/2
    2.784670679729-1.57079632675     		φ = 1.21387435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43162384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.730224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21387435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.549877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28266 KachelY 14904 -0.43162384 1.21387435 -24.730224 69.549877
    Oben rechts KachelX + 1 28267 KachelY 14904 -0.43152797 1.21387435 -24.724731 69.549877
    Unten links KachelX 28266 KachelY + 1 14905 -0.43162384 1.21384085 -24.730224 69.547958
    Unten rechts KachelX + 1 28267 KachelY + 1 14905 -0.43152797 1.21384085 -24.724731 69.547958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21387435-1.21384085) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21387435-1.21384085) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43162384--0.43152797) × cos(1.21387435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349391856921296 × 6371000     		do = 213.404273145113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43162384--0.43152797) × cos(1.21384085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349423245444579 × 6371000     		du = 213.423444871253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21387435)-sin(1.21384085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349391856921296-0.349423245444579)×R²
    abs(-0.43152797--0.43162384)×3.13885232838818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13885232838818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13885232838818e-05×40589641000000     		ar = 45548.5998113758m²