Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28264 / 43544
↖ ↑ ↗
← S 50.819818°
W 24.741211°		 ← 385.87 m → S 50.819818°
W 24.735718°		 →
↑
385.89 m
↓
↑
385.89 m
↓
S 50.823288°
W 24.741211°		 ← 385.84 m →
148 899 m²		 S 50.823288°
W 24.735718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431282043457031 y=0.664436340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431282043457031 × 216)
    floor (0.431282043457031 × 65536)
    floor (28264.5)     		tx = 28264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664436340332031 × 216)
    floor (0.664436340332031 × 65536)
    floor (43544.5)     		ty = 43544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28264 / 43544 ti = "16/28264/43544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28264/43544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28264 ÷ 216
    28264 ÷ 65536     		x = 0.4312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43544 ÷ 216
    43544 ÷ 65536     		y = 0.6644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03313606061145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43181559} λ = -0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03313606061145))-π/2
    2×atan(0.355889118827973)-π/2
    2×0.341911586436889-π/2
    0.683823172873778-1.57079632675     		φ = -0.88697315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88697315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.819818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28264 KachelY 43544 -0.43181559 -0.88697315 -24.741211 -50.819818
    Oben rechts KachelX + 1 28265 KachelY 43544 -0.43171972 -0.88697315 -24.735718 -50.819818
    Unten links KachelX 28264 KachelY + 1 43545 -0.43181559 -0.88703372 -24.741211 -50.823288
    Unten rechts KachelX + 1 28265 KachelY + 1 43545 -0.43171972 -0.88703372 -24.735718 -50.823288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88697315--0.88703372) × R
    6.05700000000375e-05 × 6371000     		dl = 385.891470000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88697315--0.88703372) × R
    6.05700000000375e-05 × 6371000     		dr = 385.891470000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43181559--0.43171972) × cos(-0.88697315) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.631761219323209 × 6371000     		do = 385.872026323119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43181559--0.43171972) × cos(-0.88703372) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.63171426653812 × 6371000     		du = 385.843348136219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88697315)-sin(-0.88703372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631761219323209-0.63171426653812)×R²
    abs(-0.43171972--0.43181559)×4.69527850887053e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.69527850887053e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.69527850887053e-05×40589641000000     		ar = 148899.190181401m²