Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28263 / 43515
↖ ↑ ↗
← S 50.719069°
W 24.746704°		 ← 386.74 m → S 50.719069°
W 24.741211°		 →
↑
386.72 m
↓
↑
386.72 m
↓
S 50.722547°
W 24.746704°		 ← 386.72 m →
149 556 m²		 S 50.722547°
W 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431266784667969 y=0.663993835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431266784667969 × 216)
    floor (0.431266784667969 × 65536)
    floor (28263.5)     		tx = 28263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663993835449219 × 216)
    floor (0.663993835449219 × 65536)
    floor (43515.5)     		ty = 43515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28263 / 43515 ti = "16/28263/43515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28263/43515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28263 ÷ 216
    28263 ÷ 65536     		x = 0.431259155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43515 ÷ 216
    43515 ÷ 65536     		y = 0.663986206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431259155273438 × 2 - 1) × π
    -0.137481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43191147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663986206054688 × 2 - 1) × π
    -0.327972412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03035572043349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43191147} λ = -0.43191147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03035572043349))-π/2
    2×atan(0.356879988482998)-π/2
    2×0.342790788626224-π/2
    0.685581577252449-1.57079632675     		φ = -0.88521475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43191147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.746704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88521475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.719069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28263 KachelY 43515 -0.43191147 -0.88521475 -24.746704 -50.719069
    Oben rechts KachelX + 1 28264 KachelY 43515 -0.43181559 -0.88521475 -24.741211 -50.719069
    Unten links KachelX 28263 KachelY + 1 43516 -0.43191147 -0.88527545 -24.746704 -50.722547
    Unten rechts KachelX + 1 28264 KachelY + 1 43516 -0.43181559 -0.88527545 -24.741211 -50.722547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88521475--0.88527545) × R
    6.06999999999136e-05 × 6371000     		dl = 386.71969999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88521475--0.88527545) × R
    6.06999999999136e-05 × 6371000     		dr = 386.71969999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43191147--0.43181559) × cos(-0.88521475) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633123288643322 × 6371000     		do = 386.744297890211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43191147--0.43181559) × cos(-0.88527545) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633076302583213 × 6371000     		du = 386.715596385854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88521475)-sin(-0.88527545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633123288643322-0.633076302583213)×R²
    abs(-0.43181559--0.43191147)×4.6986060109333e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6986060109333e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6986060109333e-05×40589641000000     		ar = 149556.089183807m²