Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28263 / 22363
↖ ↑ ↗
← N 49.514510°
W 24.746704°		 ← 396.60 m → N 49.514510°
W 24.741211°		 →
↑
396.59 m
↓
↑
396.59 m
↓
N 49.510944°
W 24.746704°		 ← 396.63 m →
157 295 m²		 N 49.510944°
W 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431266784667969 y=0.341239929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431266784667969 × 216)
    floor (0.431266784667969 × 65536)
    floor (28263.5)     		tx = 28263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341239929199219 × 216)
    floor (0.341239929199219 × 65536)
    floor (22363.5)     		ty = 22363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28263 / 22363 ti = "16/28263/22363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28263/22363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28263 ÷ 216
    28263 ÷ 65536     		x = 0.431259155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22363 ÷ 216
    22363 ÷ 65536     		y = 0.341232299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431259155273438 × 2 - 1) × π
    -0.137481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43191147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341232299804688 × 2 - 1) × π
    0.317535400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.997566881093369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43191147} λ = -0.43191147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997566881093369))-π/2
    2×atan(2.71167596523295)-π/2
    2×1.21749377787166-π/2
    2.43498755574332-1.57079632675     		φ = 0.86419123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43191147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.746704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86419123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.514510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28263 KachelY 22363 -0.43191147 0.86419123 -24.746704 49.514510
    Oben rechts KachelX + 1 28264 KachelY 22363 -0.43181559 0.86419123 -24.741211 49.514510
    Unten links KachelX 28263 KachelY + 1 22364 -0.43191147 0.86412898 -24.746704 49.510944
    Unten rechts KachelX + 1 28264 KachelY + 1 22364 -0.43181559 0.86412898 -24.741211 49.510944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86419123-0.86412898) × R
    6.22499999999304e-05 × 6371000     		dl = 396.594749999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86419123-0.86412898) × R
    6.22499999999304e-05 × 6371000     		dr = 396.594749999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43191147--0.43181559) × cos(0.86419123) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649255454495213 × 6371000     		do = 396.598655276443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43191147--0.43181559) × cos(0.86412898) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649302798745507 × 6371000     		du = 396.627575581805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86419123)-sin(0.86412898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649255454495213-0.649302798745507)×R²
    abs(-0.43181559--0.43191147)×4.73442502945121e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73442502945121e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73442502945121e-05×40589641000000     		ar = 157294.679410883m²