Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28263 / 21627
↖ ↑ ↗
← N 52.069377°
W 24.746704°		 ← 375.49 m → N 52.069377°
W 24.741211°		 →
↑
375.51 m
↓
↑
375.51 m
↓
N 52.066000°
W 24.746704°		 ← 375.52 m →
141 006 m²		 N 52.066000°
W 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431266784667969 y=0.330009460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431266784667969 × 216)
    floor (0.431266784667969 × 65536)
    floor (28263.5)     		tx = 28263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330009460449219 × 216)
    floor (0.330009460449219 × 65536)
    floor (21627.5)     		ty = 21627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28263 / 21627 ti = "16/28263/21627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28263/21627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28263 ÷ 216
    28263 ÷ 65536     		x = 0.431259155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21627 ÷ 216
    21627 ÷ 65536     		y = 0.330001831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431259155273438 × 2 - 1) × π
    -0.137481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43191147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330001831054688 × 2 - 1) × π
    0.339996337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06812999733409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43191147} λ = -0.43191147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06812999733409))-π/2
    2×atan(2.90993282677382)-π/2
    2×1.23978919828214-π/2
    2.47957839656427-1.57079632675     		φ = 0.90878207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43191147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.746704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90878207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.069377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28263 KachelY 21627 -0.43191147 0.90878207 -24.746704 52.069377
    Oben rechts KachelX + 1 28264 KachelY 21627 -0.43181559 0.90878207 -24.741211 52.069377
    Unten links KachelX 28263 KachelY + 1 21628 -0.43191147 0.90872313 -24.746704 52.066000
    Unten rechts KachelX + 1 28264 KachelY + 1 21628 -0.43181559 0.90872313 -24.741211 52.066000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90878207-0.90872313) × R
    5.89399999999518e-05 × 6371000     		dl = 375.506739999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90878207-0.90872313) × R
    5.89399999999518e-05 × 6371000     		dr = 375.506739999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43191147--0.43181559) × cos(0.90878207) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614706854339878 × 6371000     		do = 375.49459173963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43191147--0.43181559) × cos(0.90872313) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614753342530432 × 6371000     		du = 375.522989119632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90878207)-sin(0.90872313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614706854339878-0.614753342530432)×R²
    abs(-0.43181559--0.43191147)×4.64881905539727e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.64881905539727e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.64881905539727e-05×40589641000000     		ar = 141006.081776207m²