Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28263 / 14888
↖ ↑ ↗
← N 69.580564°
W 24.746704°		 ← 213.12 m → N 69.580564°
W 24.741211°		 →
↑
213.11 m
↓
↑
213.11 m
↓
N 69.578647°
W 24.746704°		 ← 213.14 m →
45 420 m²		 N 69.578647°
W 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431266784667969 y=0.227180480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431266784667969 × 216)
    floor (0.431266784667969 × 65536)
    floor (28263.5)     		tx = 28263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227180480957031 × 216)
    floor (0.227180480957031 × 65536)
    floor (14888.5)     		ty = 14888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28263 / 14888 ti = "16/28263/14888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28263/14888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28263 ÷ 216
    28263 ÷ 65536     		x = 0.431259155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14888 ÷ 216
    14888 ÷ 65536     		y = 0.2271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431259155273438 × 2 - 1) × π
    -0.137481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43191147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2271728515625 × 2 - 1) × π
    0.545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43191147} λ = -0.43191147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71422353041321))-π/2
    2×atan(5.55236259746271)-π/2
    2×1.39260312755526-π/2
    2.78520625511051-1.57079632675     		φ = 1.21440993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43191147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.746704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21440993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.580564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28263 KachelY 14888 -0.43191147 1.21440993 -24.746704 69.580564
    Oben rechts KachelX + 1 28264 KachelY 14888 -0.43181559 1.21440993 -24.741211 69.580564
    Unten links KachelX 28263 KachelY + 1 14889 -0.43191147 1.21437648 -24.746704 69.578647
    Unten rechts KachelX + 1 28264 KachelY + 1 14889 -0.43181559 1.21437648 -24.741211 69.578647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21440993-1.21437648) × R
    3.34499999998794e-05 × 6371000     		dl = 213.109949999232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21440993-1.21437648) × R
    3.34499999998794e-05 × 6371000     		dr = 213.109949999232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43191147--0.43181559) × cos(1.21440993) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348889980855207 × 6371000     		do = 213.119961162558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43191147--0.43181559) × cos(1.21437648) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348921328785434 × 6371000     		du = 213.139110092133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21440993)-sin(1.21437648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348889980855207-0.348921328785434)×R²
    abs(-0.43181559--0.43191147)×3.13479302270214e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.13479302270214e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.13479302270214e-05×40589641000000     		ar = 45420.0246850741m²