Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28261 / 43661
↖ ↑ ↗
← S 51.224088°
W 24.757690°		 ← 382.52 m → S 51.224088°
W 24.752197°		 →
↑
382.51 m
↓
↑
382.51 m
↓
S 51.227528°
W 24.757690°		 ← 382.49 m →
146 315 m²		 S 51.227528°
W 24.752197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431236267089844 y=0.666221618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431236267089844 × 216)
    floor (0.431236267089844 × 65536)
    floor (28261.5)     		tx = 28261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666221618652344 × 216)
    floor (0.666221618652344 × 65536)
    floor (43661.5)     		ty = 43661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28261 / 43661 ti = "16/28261/43661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28261/43661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28261 ÷ 216
    28261 ÷ 65536     		x = 0.431228637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43661 ÷ 216
    43661 ÷ 65536     		y = 0.666213989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431228637695312 × 2 - 1) × π
    -0.137542724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43210321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666213989257812 × 2 - 1) × π
    -0.332427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04435329512254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43210321} λ = -0.43210321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04435329512254))-π/2
    2×atan(0.351919333752419)-π/2
    2×0.338383669217956-π/2
    0.676767338435911-1.57079632675     		φ = -0.89402899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43210321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.757690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89402899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.224088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28261 KachelY 43661 -0.43210321 -0.89402899 -24.757690 -51.224088
    Oben rechts KachelX + 1 28262 KachelY 43661 -0.43200734 -0.89402899 -24.752197 -51.224088
    Unten links KachelX 28261 KachelY + 1 43662 -0.43210321 -0.89408903 -24.757690 -51.227528
    Unten rechts KachelX + 1 28262 KachelY + 1 43662 -0.43200734 -0.89408903 -24.752197 -51.227528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89402899--0.89408903) × R
    6.00399999999279e-05 × 6371000     		dl = 382.514839999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89402899--0.89408903) × R
    6.00399999999279e-05 × 6371000     		dr = 382.514839999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43210321--0.43200734) × cos(-0.89402899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626276112203509 × 6371000     		do = 382.521789977043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43210321--0.43200734) × cos(-0.89408903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626229303810978 × 6371000     		du = 382.493199983351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89402899)-sin(-0.89408903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626276112203509-0.626229303810978)×R²
    abs(-0.43200734--0.43210321)×4.6808392531017e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6808392531017e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6808392531017e-05×40589641000000     		ar = 146314.793284986m²