Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28260 / 15148
↖ ↑ ↗
← N 69.076412°
W 24.763184°		 ← 218.15 m → N 69.076412°
W 24.757690°		 →
↑
218.14 m
↓
↑
218.14 m
↓
N 69.074450°
W 24.763184°		 ← 218.17 m →
47 590 m²		 N 69.074450°
W 24.757690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431221008300781 y=0.231147766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431221008300781 × 216)
    floor (0.431221008300781 × 65536)
    floor (28260.5)     		tx = 28260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231147766113281 × 216)
    floor (0.231147766113281 × 65536)
    floor (15148.5)     		ty = 15148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28260 / 15148 ti = "16/28260/15148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28260/15148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28260 ÷ 216
    28260 ÷ 65536     		x = 0.43121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15148 ÷ 216
    15148 ÷ 65536     		y = 0.23114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.1375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43219909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23114013671875 × 2 - 1) × π
    0.5377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68929634261078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43219909} λ = -0.43219909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68929634261078))-π/2
    2×atan(5.41566858885648)-π/2
    2×1.38820357166838-π/2
    2.77640714333675-1.57079632675     		φ = 1.20561082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43219909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.763184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20561082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.076412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28260 KachelY 15148 -0.43219909 1.20561082 -24.763184 69.076412
    Oben rechts KachelX + 1 28261 KachelY 15148 -0.43210321 1.20561082 -24.757690 69.076412
    Unten links KachelX 28260 KachelY + 1 15149 -0.43219909 1.20557658 -24.763184 69.074450
    Unten rechts KachelX + 1 28261 KachelY + 1 15149 -0.43210321 1.20557658 -24.757690 69.074450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20561082-1.20557658) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dl = 218.143039999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20561082-1.20557658) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dr = 218.143039999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43219909--0.43210321) × cos(1.20561082) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.357122574639081 × 6371000     		do = 218.148853259676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43219909--0.43210321) × cos(1.20557658) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.357154556559512 × 6371000     		du = 218.168389463105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20561082)-sin(1.20557658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357122574639081-0.357154556559512)×R²
    abs(-0.43210321--0.43219909)×3.19819204308014e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.19819204308014e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.19819204308014e-05×40589641000000     		ar = 47589.78487072m²