Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28259 / 8121
↖ ↑ ↗
← N 79.244363°
W 24.768677°		 ← 113.99 m → N 79.244363°
W 24.763184°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
N 79.243338°
W 24.768677°		 ← 114 m →
12 992 m²		 N 79.243338°
W 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431205749511719 y=0.123924255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431205749511719 × 216)
    floor (0.431205749511719 × 65536)
    floor (28259.5)     		tx = 28259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123924255371094 × 216)
    floor (0.123924255371094 × 65536)
    floor (8121.5)     		ty = 8121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28259 / 8121 ti = "16/28259/8121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28259/8121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28259 ÷ 216
    28259 ÷ 65536     		x = 0.431198120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8121 ÷ 216
    8121 ÷ 65536     		y = 0.123916625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431198120117188 × 2 - 1) × π
    -0.137603759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43229496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123916625976562 × 2 - 1) × π
    0.752166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36300152987105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43229496} λ = -0.43229496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36300152987105))-π/2
    2×atan(10.6227882652515)-π/2
    2×1.47693569034378-π/2
    2.95387138068757-1.57079632675     		φ = 1.38307505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43229496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.768677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38307505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.244363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28259 KachelY 8121 -0.43229496 1.38307505 -24.768677 79.244363
    Oben rechts KachelX + 1 28260 KachelY 8121 -0.43219909 1.38307505 -24.763184 79.244363
    Unten links KachelX 28259 KachelY + 1 8122 -0.43229496 1.38305716 -24.768677 79.243338
    Unten rechts KachelX + 1 28260 KachelY + 1 8122 -0.43219909 1.38305716 -24.763184 79.243338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38307505-1.38305716) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38307505-1.38305716) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43229496--0.43219909) × cos(1.38307505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186620690742819 × 6371000     		do = 113.985635534664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43229496--0.43219909) × cos(1.38305716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186638266422191 × 6371000     		du = 113.996370544673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38307505)-sin(1.38305716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186620690742819-0.186638266422191)×R²
    abs(-0.43219909--0.43229496)×1.75756793721615e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75756793721615e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75756793721615e-05×40589641000000     		ar = 12992.3742120995m²