Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28259 / 7982
↖ ↑ ↗
← N 79.385928°
W 24.768677°		 ← 112.50 m → N 79.385928°
W 24.763184°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
N 79.384917°
W 24.768677°		 ← 112.51 m →
12 658 m²		 N 79.384917°
W 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431205749511719 y=0.121803283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431205749511719 × 216)
    floor (0.431205749511719 × 65536)
    floor (28259.5)     		tx = 28259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121803283691406 × 216)
    floor (0.121803283691406 × 65536)
    floor (7982.5)     		ty = 7982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28259 / 7982 ti = "16/28259/7982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28259/7982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28259 ÷ 216
    28259 ÷ 65536     		x = 0.431198120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7982 ÷ 216
    7982 ÷ 65536     		y = 0.121795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431198120117188 × 2 - 1) × π
    -0.137603759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43229496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121795654296875 × 2 - 1) × π
    0.75640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37632798796542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43229496} λ = -0.43229496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37632798796542))-π/2
    2×atan(10.765299886387)-π/2
    2×1.47817108073473-π/2
    2.95634216146946-1.57079632675     		φ = 1.38554583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43229496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.768677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38554583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.385928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28259 KachelY 7982 -0.43229496 1.38554583 -24.768677 79.385928
    Oben rechts KachelX + 1 28260 KachelY 7982 -0.43219909 1.38554583 -24.763184 79.385928
    Unten links KachelX 28259 KachelY + 1 7983 -0.43229496 1.38552817 -24.768677 79.384917
    Unten rechts KachelX + 1 28260 KachelY + 1 7983 -0.43219909 1.38552817 -24.763184 79.384917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38554583-1.38552817) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dl = 112.511860000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38554583-1.38552817) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dr = 112.511860000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43229496--0.43219909) × cos(1.38554583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184192750134639 × 6371000     		do = 112.502679104901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43229496--0.43219909) × cos(1.38552817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184210107945819 × 6371000     		du = 112.513281043684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38554583)-sin(1.38552817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184192750134639-0.184210107945819)×R²
    abs(-0.43219909--0.43229496)×1.73578111803685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73578111803685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73578111803685e-05×40589641000000     		ar = 12658.4821032462m²