Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28259 / 7980
↖ ↑ ↗
← N 79.387952°
W 24.768677°		 ← 112.48 m → N 79.387952°
W 24.763184°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
N 79.386940°
W 24.768677°		 ← 112.49 m →
12 656 m²		 N 79.386940°
W 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431205749511719 y=0.121772766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431205749511719 × 216)
    floor (0.431205749511719 × 65536)
    floor (28259.5)     		tx = 28259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121772766113281 × 216)
    floor (0.121772766113281 × 65536)
    floor (7980.5)     		ty = 7980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28259 / 7980 ti = "16/28259/7980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28259/7980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28259 ÷ 216
    28259 ÷ 65536     		x = 0.431198120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7980 ÷ 216
    7980 ÷ 65536     		y = 0.12176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431198120117188 × 2 - 1) × π
    -0.137603759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43229496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12176513671875 × 2 - 1) × π
    0.7564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3765197355639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43229496} λ = -0.43229496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3765197355639))-π/2
    2×atan(10.7673643047044)-π/2
    2×1.47818873832905-π/2
    2.95637747665809-1.57079632675     		φ = 1.38558115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43229496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.768677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38558115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.387952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28259 KachelY 7980 -0.43229496 1.38558115 -24.768677 79.387952
    Oben rechts KachelX + 1 28260 KachelY 7980 -0.43219909 1.38558115 -24.763184 79.387952
    Unten links KachelX 28259 KachelY + 1 7981 -0.43229496 1.38556349 -24.768677 79.386940
    Unten rechts KachelX + 1 28260 KachelY + 1 7981 -0.43219909 1.38556349 -24.763184 79.386940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38558115-1.38556349) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38558115-1.38556349) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43229496--0.43219909) × cos(1.38558115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184158034339948 × 6371000     		do = 112.481475122078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43229496--0.43219909) × cos(1.38556349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184175392266014 × 6371000     		du = 112.492077131031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38558115)-sin(1.38556349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184158034339948-0.184175392266014)×R²
    abs(-0.43219909--0.43229496)×1.73579260651924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73579260651924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73579260651924e-05×40589641000000     		ar = 12656.0964080775m²