Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28257 / 21626
↖ ↑ ↗
← N 52.072754°
W 24.779663°		 ← 375.47 m → N 52.072754°
W 24.774170°		 →
↑
375.44 m
↓
↑
375.44 m
↓
N 52.069377°
W 24.779663°		 ← 375.49 m →
140 971 m²		 N 52.069377°
W 24.774170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431175231933594 y=0.329994201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431175231933594 × 216)
    floor (0.431175231933594 × 65536)
    floor (28257.5)     		tx = 28257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329994201660156 × 216)
    floor (0.329994201660156 × 65536)
    floor (21626.5)     		ty = 21626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28257 / 21626 ti = "16/28257/21626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28257/21626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28257 ÷ 216
    28257 ÷ 65536     		x = 0.431167602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21626 ÷ 216
    21626 ÷ 65536     		y = 0.329986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431167602539062 × 2 - 1) × π
    -0.137664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43248671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329986572265625 × 2 - 1) × π
    0.34002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06822587113333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43248671} λ = -0.43248671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06822587113333))-π/2
    2×atan(2.91021182646362)-π/2
    2×1.23981866430876-π/2
    2.47963732861752-1.57079632675     		φ = 0.90884100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43248671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.779663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90884100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.072754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28257 KachelY 21626 -0.43248671 0.90884100 -24.779663 52.072754
    Oben rechts KachelX + 1 28258 KachelY 21626 -0.43239083 0.90884100 -24.774170 52.072754
    Unten links KachelX 28257 KachelY + 1 21627 -0.43248671 0.90878207 -24.779663 52.069377
    Unten rechts KachelX + 1 28258 KachelY + 1 21627 -0.43239083 0.90878207 -24.774170 52.069377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90884100-0.90878207) × R
    5.89300000000126e-05 × 6371000     		dl = 375.44303000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90884100-0.90878207) × R
    5.89300000000126e-05 × 6371000     		dr = 375.44303000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43248671--0.43239083) × cos(0.90884100) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614660371901798 × 6371000     		do = 375.466197873535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43248671--0.43239083) × cos(0.90878207) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614706854339878 × 6371000     		du = 375.49459173963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90884100)-sin(0.90878207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614660371901798-0.614706854339878)×R²
    abs(-0.43239083--0.43248671)×4.6482438079809e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6482438079809e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6482438079809e-05×40589641000000     		ar = 140971.497172624m²