Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28254 / 22377
↖ ↑ ↗
← N 49.464554°
W 24.796143°		 ← 396.96 m → N 49.464554°
W 24.790650°		 →
↑
396.98 m
↓
↑
396.98 m
↓
N 49.460984°
W 24.796143°		 ← 396.99 m →
157 591 m²		 N 49.460984°
W 24.790650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431129455566406 y=0.341453552246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431129455566406 × 216)
    floor (0.431129455566406 × 65536)
    floor (28254.5)     		tx = 28254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341453552246094 × 216)
    floor (0.341453552246094 × 65536)
    floor (22377.5)     		ty = 22377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28254 / 22377 ti = "16/28254/22377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28254/22377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28254 ÷ 216
    28254 ÷ 65536     		x = 0.431121826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22377 ÷ 216
    22377 ÷ 65536     		y = 0.341445922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431121826171875 × 2 - 1) × π
    -0.13775634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43277433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341445922851562 × 2 - 1) × π
    0.317108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.996224647904007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43277433} λ = -0.43277433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996224647904007))-π/2
    2×atan(2.70803870532518)-π/2
    2×1.21705782933264-π/2
    2.43411565866528-1.57079632675     		φ = 0.86331933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43277433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86331933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.464554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28254 KachelY 22377 -0.43277433 0.86331933 -24.796143 49.464554
    Oben rechts KachelX + 1 28255 KachelY 22377 -0.43267846 0.86331933 -24.790650 49.464554
    Unten links KachelX 28254 KachelY + 1 22378 -0.43277433 0.86325702 -24.796143 49.460984
    Unten rechts KachelX + 1 28255 KachelY + 1 22378 -0.43267846 0.86325702 -24.790650 49.460984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86331933-0.86325702) × R
    6.23100000000099e-05 × 6371000     		dl = 396.977010000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86331933-0.86325702) × R
    6.23100000000099e-05 × 6371000     		dr = 396.977010000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43277433--0.43267846) × cos(0.86331933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649918348970146 × 6371000     		do = 396.962179049548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43277433--0.43267846) × cos(0.86325702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649965703560135 × 6371000     		du = 396.991102653967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86331933)-sin(0.86325702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649918348970146-0.649965703560135)×R²
    abs(-0.43267846--0.43277433)×4.73545899890571e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73545899890571e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73545899890571e-05×40589641000000     		ar = 157590.59997618m²