Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28253 / 43548
↖ ↑ ↗
← S 50.833698°
W 24.801636°		 ← 385.76 m → S 50.833698°
W 24.796143°		 →
↑
385.70 m
↓
↑
385.70 m
↓
S 50.837167°
W 24.801636°		 ← 385.73 m →
148 781 m²		 S 50.837167°
W 24.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431114196777344 y=0.664497375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431114196777344 × 216)
    floor (0.431114196777344 × 65536)
    floor (28253.5)     		tx = 28253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664497375488281 × 216)
    floor (0.664497375488281 × 65536)
    floor (43548.5)     		ty = 43548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28253 / 43548 ti = "16/28253/43548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28253/43548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28253 ÷ 216
    28253 ÷ 65536     		x = 0.431106567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43548 ÷ 216
    43548 ÷ 65536     		y = 0.66448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431106567382812 × 2 - 1) × π
    -0.137786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43287020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.3289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03351955580841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43287020} λ = -0.43287020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03351955580841))-π/2
    2×atan(0.355752663226958)-π/2
    2×0.341790465745783-π/2
    0.683580931491567-1.57079632675     		φ = -0.88721540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43287020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88721540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.833698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28253 KachelY 43548 -0.43287020 -0.88721540 -24.801636 -50.833698
    Oben rechts KachelX + 1 28254 KachelY 43548 -0.43277433 -0.88721540 -24.796143 -50.833698
    Unten links KachelX 28253 KachelY + 1 43549 -0.43287020 -0.88727594 -24.801636 -50.837167
    Unten rechts KachelX + 1 28254 KachelY + 1 43549 -0.43277433 -0.88727594 -24.796143 -50.837167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88721540--0.88727594) × R
    6.05399999999978e-05 × 6371000     		dl = 385.700339999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88721540--0.88727594) × R
    6.05399999999978e-05 × 6371000     		dr = 385.700339999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43287020--0.43277433) × cos(-0.88721540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631573417537511 × 6371000     		do = 385.757319289007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43287020--0.43277433) × cos(-0.88727594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63152647874489 × 6371000     		du = 385.728649648535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88721540)-sin(-0.88727594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631573417537511-0.63152647874489)×R²
    abs(-0.43277433--0.43287020)×4.69387926212983e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69387926212983e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69387926212983e-05×40589641000000     		ar = 148781.20030769m²