Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28253 / 21625
↖ ↑ ↗
← N 52.076130°
W 24.801636°		 ← 375.40 m → N 52.076130°
W 24.796143°		 →
↑
375.44 m
↓
↑
375.44 m
↓
N 52.072754°
W 24.801636°		 ← 375.43 m →
140 946 m²		 N 52.072754°
W 24.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431114196777344 y=0.329978942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431114196777344 × 216)
    floor (0.431114196777344 × 65536)
    floor (28253.5)     		tx = 28253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329978942871094 × 216)
    floor (0.329978942871094 × 65536)
    floor (21625.5)     		ty = 21625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28253 / 21625 ti = "16/28253/21625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28253/21625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28253 ÷ 216
    28253 ÷ 65536     		x = 0.431106567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21625 ÷ 216
    21625 ÷ 65536     		y = 0.329971313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431106567382812 × 2 - 1) × π
    -0.137786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43287020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329971313476562 × 2 - 1) × π
    0.340057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06832174493257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43287020} λ = -0.43287020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06832174493257))-π/2
    2×atan(2.91049085290347)-π/2
    2×1.23984812810712-π/2
    2.47969625621423-1.57079632675     		φ = 0.90889993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43287020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90889993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.076130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28253 KachelY 21625 -0.43287020 0.90889993 -24.801636 52.076130
    Oben rechts KachelX + 1 28254 KachelY 21625 -0.43277433 0.90889993 -24.796143 52.076130
    Unten links KachelX 28253 KachelY + 1 21626 -0.43287020 0.90884100 -24.801636 52.072754
    Unten rechts KachelX + 1 28254 KachelY + 1 21626 -0.43277433 0.90884100 -24.796143 52.072754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90889993-0.90884100) × R
    5.89300000000126e-05 × 6371000     		dl = 375.44303000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90889993-0.90884100) × R
    5.89300000000126e-05 × 6371000     		dr = 375.44303000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43287020--0.43277433) × cos(0.90889993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61461388732916 × 6371000     		do = 375.3986456528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43287020--0.43277433) × cos(0.90884100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614660371901798 × 6371000     		du = 375.427037861262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90889993)-sin(0.90884100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61461388732916-0.614660371901798)×R²
    abs(-0.43277433--0.43287020)×4.648457263845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.648457263845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.648457263845e-05×40589641000000     		ar = 140946.134850778m²