Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28248 / 43545
↖ ↑ ↗
← S 50.823288°
W 24.829101°		 ← 385.84 m → S 50.823288°
W 24.823608°		 →
↑
385.83 m
↓
↑
385.83 m
↓
S 50.826758°
W 24.829101°		 ← 385.81 m →
148 864 m²		 S 50.826758°
W 24.823608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431037902832031 y=0.664451599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431037902832031 × 216)
    floor (0.431037902832031 × 65536)
    floor (28248.5)     		tx = 28248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664451599121094 × 216)
    floor (0.664451599121094 × 65536)
    floor (43545.5)     		ty = 43545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28248 / 43545 ti = "16/28248/43545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28248/43545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28248 ÷ 216
    28248 ÷ 65536     		x = 0.4310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43545 ÷ 216
    43545 ÷ 65536     		y = 0.664443969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664443969726562 × 2 - 1) × π
    -0.328887939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03323193441069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43334957} λ = -0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03323193441069))-π/2
    2×atan(0.355855000021619)-π/2
    2×0.341881302888216-π/2
    0.683762605776432-1.57079632675     		φ = -0.88703372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88703372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.823288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28248 KachelY 43545 -0.43334957 -0.88703372 -24.829101 -50.823288
    Oben rechts KachelX + 1 28249 KachelY 43545 -0.43325370 -0.88703372 -24.823608 -50.823288
    Unten links KachelX 28248 KachelY + 1 43546 -0.43334957 -0.88709428 -24.829101 -50.826758
    Unten rechts KachelX + 1 28249 KachelY + 1 43546 -0.43325370 -0.88709428 -24.823608 -50.826758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88703372--0.88709428) × R
    6.05599999999873e-05 × 6371000     		dl = 385.827759999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88703372--0.88709428) × R
    6.05599999999873e-05 × 6371000     		dr = 385.827759999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43334957--0.43325370) × cos(-0.88703372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63171426653812 × 6371000     		do = 385.843348135996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43334957--0.43325370) × cos(-0.88709428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631667319187842 × 6371000     		du = 385.814673268612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88703372)-sin(-0.88709428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63171426653812-0.631667319187842)×R²
    abs(-0.43325370--0.43334957)×4.69473502786588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69473502786588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69473502786588e-05×40589641000000     		ar = 148863.542987733m²