Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28246 / 7958
↖ ↑ ↗
← N 79.410185°
W 24.840088°		 ← 112.25 m → N 79.410185°
W 24.834595°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
N 79.409175°
W 24.840088°		 ← 112.26 m →
12 601 m²		 N 79.409175°
W 24.834595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431007385253906 y=0.121437072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431007385253906 × 216)
    floor (0.431007385253906 × 65536)
    floor (28246.5)     		tx = 28246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121437072753906 × 216)
    floor (0.121437072753906 × 65536)
    floor (7958.5)     		ty = 7958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28246 / 7958 ti = "16/28246/7958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28246/7958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28246 ÷ 216
    28246 ÷ 65536     		x = 0.430999755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7958 ÷ 216
    7958 ÷ 65536     		y = 0.121429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430999755859375 × 2 - 1) × π
    -0.13800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43354132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121429443359375 × 2 - 1) × π
    0.75714111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37862895914719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43354132} λ = -0.43354132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37862895914719))-π/2
    2×atan(10.790099051329)-π/2
    2×1.47838275237937-π/2
    2.95676550475873-1.57079632675     		φ = 1.38596918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43354132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.840088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38596918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.410185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28246 KachelY 7958 -0.43354132 1.38596918 -24.840088 79.410185
    Oben rechts KachelX + 1 28247 KachelY 7958 -0.43344545 1.38596918 -24.834595 79.410185
    Unten links KachelX 28246 KachelY + 1 7959 -0.43354132 1.38595156 -24.840088 79.409175
    Unten rechts KachelX + 1 28247 KachelY + 1 7959 -0.43344545 1.38595156 -24.834595 79.409175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38596918-1.38595156) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38596918-1.38595156) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43354132--0.43344545) × cos(1.38596918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183776627099555 × 6371000     		do = 112.248516244256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43354132--0.43344545) × cos(1.38595156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183793946967745 × 6371000     		du = 112.259095007924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38596918)-sin(1.38595156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183776627099555-0.183793946967745)×R²
    abs(-0.43344545--0.43354132)×1.73198681894526e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73198681894526e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73198681894526e-05×40589641000000     		ar = 12601.2777036413m²