Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28246 / 43674
↖ ↑ ↗
← S 51.268789°
W 24.840088°		 ← 382.15 m → S 51.268789°
W 24.834595°		 →
↑
382.20 m
↓
↑
382.20 m
↓
S 51.272226°
W 24.840088°		 ← 382.12 m →
146 051 m²		 S 51.272226°
W 24.834595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431007385253906 y=0.666419982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431007385253906 × 216)
    floor (0.431007385253906 × 65536)
    floor (28246.5)     		tx = 28246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666419982910156 × 216)
    floor (0.666419982910156 × 65536)
    floor (43674.5)     		ty = 43674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28246 / 43674 ti = "16/28246/43674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28246/43674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28246 ÷ 216
    28246 ÷ 65536     		x = 0.430999755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43674 ÷ 216
    43674 ÷ 65536     		y = 0.666412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430999755859375 × 2 - 1) × π
    -0.13800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43354132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.33282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04559965451266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43354132} λ = -0.43354132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04559965451266))-π/2
    2×atan(0.351480989010518)-π/2
    2×0.337993576250363-π/2
    0.675987152500725-1.57079632675     		φ = -0.89480917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43354132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.840088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89480917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.268789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28246 KachelY 43674 -0.43354132 -0.89480917 -24.840088 -51.268789
    Oben rechts KachelX + 1 28247 KachelY 43674 -0.43344545 -0.89480917 -24.834595 -51.268789
    Unten links KachelX 28246 KachelY + 1 43675 -0.43354132 -0.89486916 -24.840088 -51.272226
    Unten rechts KachelX + 1 28247 KachelY + 1 43675 -0.43344545 -0.89486916 -24.834595 -51.272226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89480917--0.89486916) × R
    5.99900000000098e-05 × 6371000     		dl = 382.196290000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89480917--0.89486916) × R
    5.99900000000098e-05 × 6371000     		dr = 382.196290000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43354132--0.43344545) × cos(-0.89480917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625667692299678 × 6371000     		do = 382.150174540758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43354132--0.43344545) × cos(-0.89486916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625620893592824 × 6371000     		du = 382.12159046296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89480917)-sin(-0.89486916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625667692299678-0.625620893592824)×R²
    abs(-0.43344545--0.43354132)×4.67987068539788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67987068539788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67987068539788e-05×40589641000000     		ar = 146050.916611974m²