Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28245 / 8237
↖ ↑ ↗
← N 79.124795°
W 24.845581°		 ← 115.24 m → N 79.124795°
W 24.840088°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
N 79.123759°
W 24.845581°		 ← 115.25 m →
13 282 m²		 N 79.123759°
W 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430992126464844 y=0.125694274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430992126464844 × 216)
    floor (0.430992126464844 × 65536)
    floor (28245.5)     		tx = 28245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125694274902344 × 216)
    floor (0.125694274902344 × 65536)
    floor (8237.5)     		ty = 8237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28245 / 8237 ti = "16/28245/8237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28245/8237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28245 ÷ 216
    28245 ÷ 65536     		x = 0.430984497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8237 ÷ 216
    8237 ÷ 65536     		y = 0.125686645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430984497070312 × 2 - 1) × π
    -0.138031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43363719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125686645507812 × 2 - 1) × π
    0.748626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3518801691592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43363719} λ = -0.43363719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3518801691592))-π/2
    2×atan(10.505302914595)-π/2
    2×1.47589226325494-π/2
    2.95178452650987-1.57079632675     		φ = 1.38098820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43363719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.845581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38098820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.124795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28245 KachelY 8237 -0.43363719 1.38098820 -24.845581 79.124795
    Oben rechts KachelX + 1 28246 KachelY 8237 -0.43354132 1.38098820 -24.840088 79.124795
    Unten links KachelX 28245 KachelY + 1 8238 -0.43363719 1.38097011 -24.845581 79.123759
    Unten rechts KachelX + 1 28246 KachelY + 1 8238 -0.43354132 1.38097011 -24.840088 79.123759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38098820-1.38097011) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dl = 115.251389999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38098820-1.38097011) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dr = 115.251389999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43363719--0.43354132) × cos(1.38098820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188670471201189 × 6371000     		do = 115.237616369821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43363719--0.43354132) × cos(1.38097011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18868823628213 × 6371000     		du = 115.248467063992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38098820)-sin(1.38097011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188670471201189-0.18868823628213)×R²
    abs(-0.43354132--0.43363719)×1.7765080940868e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7765080940868e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7765080940868e-05×40589641000000     		ar = 13281.9207459518m²