Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28245 / 21545
↖ ↑ ↗
← N 52.345408°
W 24.845581°		 ← 373.13 m → N 52.345408°
W 24.840088°		 →
↑
373.15 m
↓
↑
373.15 m
↓
N 52.342052°
W 24.845581°		 ← 373.16 m →
139 239 m²		 N 52.342052°
W 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430992126464844 y=0.328758239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430992126464844 × 216)
    floor (0.430992126464844 × 65536)
    floor (28245.5)     		tx = 28245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328758239746094 × 216)
    floor (0.328758239746094 × 65536)
    floor (21545.5)     		ty = 21545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28245 / 21545 ti = "16/28245/21545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28245/21545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28245 ÷ 216
    28245 ÷ 65536     		x = 0.430984497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21545 ÷ 216
    21545 ÷ 65536     		y = 0.328750610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430984497070312 × 2 - 1) × π
    -0.138031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43363719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328750610351562 × 2 - 1) × π
    0.342498779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07599164887178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43363719} λ = -0.43363719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07599164887178))-π/2
    2×atan(2.93289986579403)-π/2
    2×1.24219801829355-π/2
    2.4843960365871-1.57079632675     		φ = 0.91359971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43363719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.845581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91359971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.345408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28245 KachelY 21545 -0.43363719 0.91359971 -24.845581 52.345408
    Oben rechts KachelX + 1 28246 KachelY 21545 -0.43354132 0.91359971 -24.840088 52.345408
    Unten links KachelX 28245 KachelY + 1 21546 -0.43363719 0.91354114 -24.845581 52.342052
    Unten rechts KachelX + 1 28246 KachelY + 1 21546 -0.43354132 0.91354114 -24.840088 52.342052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91359971-0.91354114) × R
    5.856999999998e-05 × 6371000     		dl = 373.149469999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91359971-0.91354114) × R
    5.856999999998e-05 × 6371000     		dr = 373.149469999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43363719--0.43354132) × cos(0.91359971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610899794692268 × 6371000     		do = 373.13012329354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43363719--0.43354132) × cos(0.91354114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610946163977666 × 6371000     		du = 373.158445085965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91359971)-sin(0.91354114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610899794692268-0.610946163977666)×R²
    abs(-0.43354132--0.43363719)×4.63692853981401e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63692853981401e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63692853981401e-05×40589641000000     		ar = 139238.59191901m²