Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28243 / 9166
↖ ↑ ↗
← N 78.118670°
W 24.856567°		 ← 125.75 m → N 78.118670°
W 24.851074°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
N 78.117539°
W 24.856567°		 ← 125.76 m →
15 816 m²		 N 78.117539°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430961608886719 y=0.139869689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430961608886719 × 216)
    floor (0.430961608886719 × 65536)
    floor (28243.5)     		tx = 28243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139869689941406 × 216)
    floor (0.139869689941406 × 65536)
    floor (9166.5)     		ty = 9166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28243 / 9166 ti = "16/28243/9166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28243/9166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28243 ÷ 216
    28243 ÷ 65536     		x = 0.430953979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9166 ÷ 216
    9166 ÷ 65536     		y = 0.139862060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430953979492188 × 2 - 1) × π
    -0.138092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43382894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139862060546875 × 2 - 1) × π
    0.72027587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26281340966513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43382894} λ = -0.43382894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26281340966513))-π/2
    2×atan(9.61008828442847)-π/2
    2×1.46711216374955-π/2
    2.93422432749911-1.57079632675     		φ = 1.36342800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43382894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.856567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36342800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.118670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28243 KachelY 9166 -0.43382894 1.36342800 -24.856567 78.118670
    Oben rechts KachelX + 1 28244 KachelY 9166 -0.43373307 1.36342800 -24.851074 78.118670
    Unten links KachelX 28243 KachelY + 1 9167 -0.43382894 1.36340826 -24.856567 78.117539
    Unten rechts KachelX + 1 28244 KachelY + 1 9167 -0.43373307 1.36340826 -24.851074 78.117539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36342800-1.36340826) × R
    1.97400000001569e-05 × 6371000     		dl = 125.763540000999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36342800-1.36340826) × R
    1.97400000001569e-05 × 6371000     		dr = 125.763540000999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43382894--0.43373307) × cos(1.36342800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205885323199669 × 6371000     		do = 125.752237432852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43382894--0.43373307) × cos(1.36340826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205904640252275 × 6371000     		du = 125.764036052337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36342800)-sin(1.36340826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205885323199669-0.205904640252275)×R²
    abs(-0.43373307--0.43382894)×1.93170526057995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93170526057995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93170526057995e-05×40589641000000     		ar = 15815.7884612471m²