Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28243 / 21547
↖ ↑ ↗
← N 52.338695°
W 24.856567°		 ← 373.19 m → N 52.338695°
W 24.851074°		 →
↑
373.21 m
↓
↑
373.21 m
↓
N 52.335339°
W 24.856567°		 ← 373.22 m →
139 284 m²		 N 52.335339°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430961608886719 y=0.328788757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430961608886719 × 216)
    floor (0.430961608886719 × 65536)
    floor (28243.5)     		tx = 28243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328788757324219 × 216)
    floor (0.328788757324219 × 65536)
    floor (21547.5)     		ty = 21547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28243 / 21547 ti = "16/28243/21547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28243/21547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28243 ÷ 216
    28243 ÷ 65536     		x = 0.430953979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21547 ÷ 216
    21547 ÷ 65536     		y = 0.328781127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430953979492188 × 2 - 1) × π
    -0.138092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43382894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328781127929688 × 2 - 1) × π
    0.342437744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0757999012733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43382894} λ = -0.43382894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0757999012733))-π/2
    2×atan(2.93233754320191)-π/2
    2×1.24213944456352-π/2
    2.48427888912705-1.57079632675     		φ = 0.91348256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43382894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.856567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91348256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.338695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28243 KachelY 21547 -0.43382894 0.91348256 -24.856567 52.338695
    Oben rechts KachelX + 1 28244 KachelY 21547 -0.43373307 0.91348256 -24.851074 52.338695
    Unten links KachelX 28243 KachelY + 1 21548 -0.43382894 0.91342398 -24.856567 52.335339
    Unten rechts KachelX + 1 28244 KachelY + 1 21548 -0.43373307 0.91342398 -24.851074 52.335339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91348256-0.91342398) × R
    5.85800000000303e-05 × 6371000     		dl = 373.213180000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91348256-0.91342398) × R
    5.85800000000303e-05 × 6371000     		dr = 373.213180000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43382894--0.43373307) × cos(0.91348256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61099253908361 × 6371000     		do = 373.186770433508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43382894--0.43373307) × cos(0.91342398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611038912092863 × 6371000     		du = 373.215094500418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91348256)-sin(0.91342398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61099253908361-0.611038912092863)×R²
    abs(-0.43373307--0.43382894)×4.63730092525871e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63730092525871e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63730092525871e-05×40589641000000     		ar = 139283.506825128m²