Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28243 / 15088
↖ ↑ ↗
← N 69.193800°
W 24.856567°		 ← 216.96 m → N 69.193800°
W 24.851074°		 →
↑
217 m
↓
↑
217 m
↓
N 69.191848°
W 24.856567°		 ← 216.98 m →
47 081 m²		 N 69.191848°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430961608886719 y=0.230232238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430961608886719 × 216)
    floor (0.430961608886719 × 65536)
    floor (28243.5)     		tx = 28243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230232238769531 × 216)
    floor (0.230232238769531 × 65536)
    floor (15088.5)     		ty = 15088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28243 / 15088 ti = "16/28243/15088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28243/15088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28243 ÷ 216
    28243 ÷ 65536     		x = 0.430953979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15088 ÷ 216
    15088 ÷ 65536     		y = 0.230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430953979492188 × 2 - 1) × π
    -0.138092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43382894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230224609375 × 2 - 1) × π
    0.53955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43382894} λ = -0.43382894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69504877056519))-π/2
    2×atan(5.4469116076926)-π/2
    2×1.38922797731798-π/2
    2.77845595463597-1.57079632675     		φ = 1.20765963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43382894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.856567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20765963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.193800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28243 KachelY 15088 -0.43382894 1.20765963 -24.856567 69.193800
    Oben rechts KachelX + 1 28244 KachelY 15088 -0.43373307 1.20765963 -24.851074 69.193800
    Unten links KachelX 28243 KachelY + 1 15089 -0.43382894 1.20762557 -24.856567 69.191848
    Unten rechts KachelX + 1 28244 KachelY + 1 15089 -0.43373307 1.20762557 -24.851074 69.191848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20765963-1.20762557) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dl = 216.996259999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20765963-1.20762557) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dr = 216.996259999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43382894--0.43373307) × cos(1.20765963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355208120040202 × 6371000     		do = 216.956775525242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43382894--0.43373307) × cos(1.20762557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355239958687689 × 6371000     		du = 216.976222181741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20765963)-sin(1.20762557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355208120040202-0.355239958687689)×R²
    abs(-0.43373307--0.43382894)×3.18386474872923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18386474872923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18386474872923e-05×40589641000000     		ar = 47080.918801078m²