Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28242 / 43698
↖ ↑ ↗
← S 51.351201°
W 24.862061°		 ← 381.50 m → S 51.351201°
W 24.856567°		 →
↑
381.43 m
↓
↑
381.43 m
↓
S 51.354631°
W 24.862061°		 ← 381.48 m →
145 512 m²		 S 51.354631°
W 24.856567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430946350097656 y=0.666786193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430946350097656 × 216)
    floor (0.430946350097656 × 65536)
    floor (28242.5)     		tx = 28242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666786193847656 × 216)
    floor (0.666786193847656 × 65536)
    floor (43698.5)     		ty = 43698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28242 / 43698 ti = "16/28242/43698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28242/43698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28242 ÷ 216
    28242 ÷ 65536     		x = 0.430938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43698 ÷ 216
    43698 ÷ 65536     		y = 0.666778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.13812255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.33355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04790062569443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43392482} λ = -0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04790062569443))-π/2
    2×atan(0.350673171123121)-π/2
    2×0.337274400478234-π/2
    0.674548800956467-1.57079632675     		φ = -0.89624753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89624753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.351201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28242 KachelY 43698 -0.43392482 -0.89624753 -24.862061 -51.351201
    Oben rechts KachelX + 1 28243 KachelY 43698 -0.43382894 -0.89624753 -24.856567 -51.351201
    Unten links KachelX 28242 KachelY + 1 43699 -0.43392482 -0.89630740 -24.862061 -51.354631
    Unten rechts KachelX + 1 28243 KachelY + 1 43699 -0.43382894 -0.89630740 -24.856567 -51.354631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89624753--0.89630740) × R
    5.98699999999619e-05 × 6371000     		dl = 381.431769999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89624753--0.89630740) × R
    5.98699999999619e-05 × 6371000     		dr = 381.431769999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43392482--0.43382894) × cos(-0.89624753) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624544995651404 × 6371000     		do = 381.504234920225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43392482--0.43382894) × cos(-0.89630740) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624498236731026 × 6371000     		du = 381.475672164508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89624753)-sin(-0.89630740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624544995651404-0.624498236731026)×R²
    abs(-0.43382894--0.43392482)×4.67589203787533e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67589203787533e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67589203787533e-05×40589641000000     		ar = 145512.388260539m²