Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28242 / 43678
↖ ↑ ↗
← S 51.282535°
W 24.862061°		 ← 382.08 m → S 51.282535°
W 24.856567°		 →
↑
382.01 m
↓
↑
382.01 m
↓
S 51.285970°
W 24.862061°		 ← 382.05 m →
145 949 m²		 S 51.285970°
W 24.856567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430946350097656 y=0.666481018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430946350097656 × 216)
    floor (0.430946350097656 × 65536)
    floor (28242.5)     		tx = 28242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666481018066406 × 216)
    floor (0.666481018066406 × 65536)
    floor (43678.5)     		ty = 43678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28242 / 43678 ti = "16/28242/43678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28242/43678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28242 ÷ 216
    28242 ÷ 65536     		x = 0.430938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43678 ÷ 216
    43678 ÷ 65536     		y = 0.666473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.13812255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.33294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04598314970963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43392482} λ = -0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04598314970963))-π/2
    2×atan(0.351346223582008)-π/2
    2×0.337873623918114-π/2
    0.675747247836229-1.57079632675     		φ = -0.89504908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89504908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.282535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28242 KachelY 43678 -0.43392482 -0.89504908 -24.862061 -51.282535
    Oben rechts KachelX + 1 28243 KachelY 43678 -0.43382894 -0.89504908 -24.856567 -51.282535
    Unten links KachelX 28242 KachelY + 1 43679 -0.43392482 -0.89510904 -24.862061 -51.285970
    Unten rechts KachelX + 1 28243 KachelY + 1 43679 -0.43382894 -0.89510904 -24.856567 -51.285970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89504908--0.89510904) × R
    5.995999999997e-05 × 6371000     		dl = 382.005159999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89504908--0.89510904) × R
    5.995999999997e-05 × 6371000     		dr = 382.005159999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43392482--0.43382894) × cos(-0.89504908) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625480522976018 × 6371000     		do = 382.075703171045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43392482--0.43382894) × cos(-0.89510904) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625433738674432 × 6371000     		du = 382.04712491118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89504908)-sin(-0.89510904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625480522976018-0.625433738674432)×R²
    abs(-0.43382894--0.43392482)×4.67843015865554e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67843015865554e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67843015865554e-05×40589641000000     		ar = 145949.431644509m²