Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28241 / 21553
↖ ↑ ↗
← N 52.318553°
W 24.867554°		 ← 373.36 m → N 52.318553°
W 24.862061°		 →
↑
373.34 m
↓
↑
373.34 m
↓
N 52.315195°
W 24.867554°		 ← 373.39 m →
139 395 m²		 N 52.315195°
W 24.862061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430931091308594 y=0.328880310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430931091308594 × 216)
    floor (0.430931091308594 × 65536)
    floor (28241.5)     		tx = 28241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328880310058594 × 216)
    floor (0.328880310058594 × 65536)
    floor (21553.5)     		ty = 21553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28241 / 21553 ti = "16/28241/21553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28241/21553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28241 ÷ 216
    28241 ÷ 65536     		x = 0.430923461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21553 ÷ 216
    21553 ÷ 65536     		y = 0.328872680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430923461914062 × 2 - 1) × π
    -0.138153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43402069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328872680664062 × 2 - 1) × π
    0.342254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07522465847786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43402069} λ = -0.43402069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07522465847786))-π/2
    2×atan(2.93065122222488)-π/2
    2×1.24196367002024-π/2
    2.48392734004049-1.57079632675     		φ = 0.91313101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43402069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.867554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91313101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.318553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28241 KachelY 21553 -0.43402069 0.91313101 -24.867554 52.318553
    Oben rechts KachelX + 1 28242 KachelY 21553 -0.43392482 0.91313101 -24.862061 52.318553
    Unten links KachelX 28241 KachelY + 1 21554 -0.43402069 0.91307241 -24.867554 52.315195
    Unten rechts KachelX + 1 28242 KachelY + 1 21554 -0.43392482 0.91307241 -24.862061 52.315195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91313101-0.91307241) × R
    5.86000000000197e-05 × 6371000     		dl = 373.340600000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91313101-0.91307241) × R
    5.86000000000197e-05 × 6371000     		dr = 373.340600000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43402069--0.43392482) × cos(0.91313101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611270801082683 × 6371000     		do = 373.356729459398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43402069--0.43392482) × cos(0.91307241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611317177333649 × 6371000     		du = 373.385055506306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91313101)-sin(0.91307241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611270801082683-0.611317177333649)×R²
    abs(-0.43392482--0.43402069)×4.63762509661514e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63762509661514e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63762509661514e-05×40589641000000     		ar = 139394.513061927m²