Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2824 / 5932
↖ ↑ ↗
← S 62.512318°
W 55.898437°		 ← 2 255.40 m → S 62.512318°
W 55.854492°		 →
↑
2 254.63 m
↓
↑
2 254.63 m
↓
S 62.532594°
W 55.898437°		 ← 2 253.87 m →
5 083 369 m²		 S 62.532594°
W 55.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34478759765625 y=0.72418212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34478759765625 × 213)
    floor (0.34478759765625 × 8192)
    floor (2824.5)     		tx = 2824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72418212890625 × 213)
    floor (0.72418212890625 × 8192)
    floor (5932.5)     		ty = 5932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2824 / 5932 ti = "13/2824/5932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2824/5932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2824 ÷ 213
    2824 ÷ 8192     		x = 0.3447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5932 ÷ 213
    5932 ÷ 8192     		y = 0.72412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3447265625 × 2 - 1) × π
    -0.310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97561178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40819436323877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97561178} λ = -0.97561178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40819436323877))-π/2
    2×atan(0.244584515473275)-π/2
    2×0.239875277867554-π/2
    0.479750555735108-1.57079632675     		φ = -1.09104577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97561178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09104577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.512318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2824 KachelY 5932 -0.97561178 -1.09104577 -55.898437 -62.512318
    Oben rechts KachelX + 1 2825 KachelY 5932 -0.97484479 -1.09104577 -55.854492 -62.512318
    Unten links KachelX 2824 KachelY + 1 5933 -0.97561178 -1.09139966 -55.898437 -62.532594
    Unten rechts KachelX + 1 2825 KachelY + 1 5933 -0.97484479 -1.09139966 -55.854492 -62.532594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09104577--1.09139966) × R
    0.000353889999999968 × 6371000     		dl = 2254.63318999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09104577--1.09139966) × R
    0.000353889999999968 × 6371000     		dr = 2254.63318999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97561178--0.97484479) × cos(-1.09104577) × R
    0.000766990000000023 × 0.461557906320937 × 6371000     		do = 2255.39961218378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97561178--0.97484479) × cos(-1.09139966) × R
    0.000766990000000023 × 0.461243938037942 × 6371000     		du = 2253.86540827565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09104577)-sin(-1.09139966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461557906320937-0.461243938037942)×R²
    abs(-0.97484479--0.97561178)×0.000313968282995292×R²
    0.000766990000000023×0.000313968282995292×6371000²
    0.000766990000000023×0.000313968282995292×40589641000000     		ar = 5083369.34186843m²