Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28239 / 21571
↖ ↑ ↗
← N 52.258072°
W 24.878540°		 ← 373.91 m → N 52.258072°
W 24.873047°		 →
↑
373.91 m
↓
↑
373.91 m
↓
N 52.254709°
W 24.878540°		 ← 373.93 m →
139 814 m²		 N 52.254709°
W 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430900573730469 y=0.329154968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430900573730469 × 216)
    floor (0.430900573730469 × 65536)
    floor (28239.5)     		tx = 28239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329154968261719 × 216)
    floor (0.329154968261719 × 65536)
    floor (21571.5)     		ty = 21571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28239 / 21571 ti = "16/28239/21571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28239/21571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28239 ÷ 216
    28239 ÷ 65536     		x = 0.430892944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21571 ÷ 216
    21571 ÷ 65536     		y = 0.329147338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430892944335938 × 2 - 1) × π
    -0.138214111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43421244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329147338867188 × 2 - 1) × π
    0.341705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07349893009154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43421244} λ = -0.43421244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07349893009154))-π/2
    2×atan(2.9255980756536)-π/2
    2×1.2414358660842-π/2
    2.48287173216839-1.57079632675     		φ = 0.91207541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43421244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.878540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91207541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.258072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28239 KachelY 21571 -0.43421244 0.91207541 -24.878540 52.258072
    Oben rechts KachelX + 1 28240 KachelY 21571 -0.43411656 0.91207541 -24.873047 52.258072
    Unten links KachelX 28239 KachelY + 1 21572 -0.43421244 0.91201672 -24.878540 52.254709
    Unten rechts KachelX + 1 28240 KachelY + 1 21572 -0.43411656 0.91201672 -24.873047 52.254709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91207541-0.91201672) × R
    5.86900000000279e-05 × 6371000     		dl = 373.913990000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91207541-0.91201672) × R
    5.86900000000279e-05 × 6371000     		dr = 373.913990000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43421244--0.43411656) × cos(0.91207541) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.612105884907469 × 6371000     		do = 373.905785712409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43421244--0.43411656) × cos(0.91201672) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.612152294485675 × 6371000     		du = 373.934135071942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91207541)-sin(0.91201672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612105884907469-0.612152294485675)×R²
    abs(-0.43411656--0.43421244)×4.6409578205675e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6409578205675e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6409578205675e-05×40589641000000     		ar = 139813.904370746m²