Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28238 / 43707
↖ ↑ ↗
← S 51.382067°
W 24.884033°		 ← 381.21 m → S 51.382067°
W 24.878540°		 →
↑
381.24 m
↓
↑
381.24 m
↓
S 51.385495°
W 24.884033°		 ← 381.18 m →
145 326 m²		 S 51.385495°
W 24.878540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430885314941406 y=0.666923522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430885314941406 × 216)
    floor (0.430885314941406 × 65536)
    floor (28238.5)     		tx = 28238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666923522949219 × 216)
    floor (0.666923522949219 × 65536)
    floor (43707.5)     		ty = 43707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28238 / 43707 ti = "16/28238/43707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28238/43707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28238 ÷ 216
    28238 ÷ 65536     		x = 0.430877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43707 ÷ 216
    43707 ÷ 65536     		y = 0.666915893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.13824462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43430831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666915893554688 × 2 - 1) × π
    -0.333831787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04876348988759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43430831} λ = -0.43430831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04876348988759))-π/2
    2×atan(0.350370718306874)-π/2
    2×0.337005042501636-π/2
    0.674010085003272-1.57079632675     		φ = -0.89678624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43430831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.884033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89678624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.382067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28238 KachelY 43707 -0.43430831 -0.89678624 -24.884033 -51.382067
    Oben rechts KachelX + 1 28239 KachelY 43707 -0.43421244 -0.89678624 -24.878540 -51.382067
    Unten links KachelX 28238 KachelY + 1 43708 -0.43430831 -0.89684608 -24.884033 -51.385495
    Unten rechts KachelX + 1 28239 KachelY + 1 43708 -0.43421244 -0.89684608 -24.878540 -51.385495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89678624--0.89684608) × R
    5.98400000000332e-05 × 6371000     		dl = 381.240640000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89678624--0.89684608) × R
    5.98400000000332e-05 × 6371000     		dr = 381.240640000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43430831--0.43421244) × cos(-0.89678624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624124178556466 × 6371000     		do = 381.207415223577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43430831--0.43421244) × cos(-0.89684608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624077422941323 × 6371000     		du = 381.178857465669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89678624)-sin(-0.89684608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624124178556466-0.624077422941323)×R²
    abs(-0.43421244--0.43430831)×4.67556151431125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67556151431125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67556151431125e-05×40589641000000     		ar = 145326.315307033m²