Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28235 / 21965
↖ ↑ ↗
← N 50.913424°
W 24.900513°		 ← 385.10 m → N 50.913424°
W 24.895020°		 →
↑
385.13 m
↓
↑
385.13 m
↓
N 50.909961°
W 24.900513°		 ← 385.13 m →
148 317 m²		 N 50.909961°
W 24.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430839538574219 y=0.335166931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430839538574219 × 216)
    floor (0.430839538574219 × 65536)
    floor (28235.5)     		tx = 28235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335166931152344 × 216)
    floor (0.335166931152344 × 65536)
    floor (21965.5)     		ty = 21965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28235 / 21965 ti = "16/28235/21965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28235/21965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28235 ÷ 216
    28235 ÷ 65536     		x = 0.430831909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21965 ÷ 216
    21965 ÷ 65536     		y = 0.335159301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430831909179688 × 2 - 1) × π
    -0.138336181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43459593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335159301757812 × 2 - 1) × π
    0.329681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03572465319093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43459593} λ = -0.43459593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03572465319093))-π/2
    2×atan(2.81714695065655)-π/2
    2×1.22970160636419-π/2
    2.45940321272839-1.57079632675     		φ = 0.88860689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43459593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.900513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88860689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.913424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28235 KachelY 21965 -0.43459593 0.88860689 -24.900513 50.913424
    Oben rechts KachelX + 1 28236 KachelY 21965 -0.43450006 0.88860689 -24.895020 50.913424
    Unten links KachelX 28235 KachelY + 1 21966 -0.43459593 0.88854644 -24.900513 50.909961
    Unten rechts KachelX + 1 28236 KachelY + 1 21966 -0.43450006 0.88854644 -24.895020 50.909961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88860689-0.88854644) × R
    6.04499999999897e-05 × 6371000     		dl = 385.126949999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88860689-0.88854644) × R
    6.04499999999897e-05 × 6371000     		dr = 385.126949999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43459593--0.43450006) × cos(0.88860689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630493961878416 × 6371000     		do = 385.098000974174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43459593--0.43450006) × cos(0.88854644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630540881662994 × 6371000     		du = 385.126659004766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88860689)-sin(0.88854644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630493961878416-0.630540881662994)×R²
    abs(-0.43450006--0.43459593)×4.69197845783809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69197845783809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69197845783809e-05×40589641000000     		ar = 148317.137101332m²