Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28232 / 43672
↖ ↑ ↗
← S 51.261915°
W 24.916992°		 ← 382.21 m → S 51.261915°
W 24.911499°		 →
↑
382.26 m
↓
↑
382.26 m
↓
S 51.265352°
W 24.916992°		 ← 382.18 m →
146 097 m²		 S 51.265352°
W 24.911499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430793762207031 y=0.666389465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430793762207031 × 216)
    floor (0.430793762207031 × 65536)
    floor (28232.5)     		tx = 28232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666389465332031 × 216)
    floor (0.666389465332031 × 65536)
    floor (43672.5)     		ty = 43672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28232 / 43672 ti = "16/28232/43672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28232/43672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28232 ÷ 216
    28232 ÷ 65536     		x = 0.4307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43672 ÷ 216
    43672 ÷ 65536     		y = 0.6663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.332763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04540790691418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43488355} λ = -0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04540790691418))-π/2
    2×atan(0.351548391107961)-π/2
    2×0.338053565875142-π/2
    0.676107131750284-1.57079632675     		φ = -0.89468919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89468919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.261915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28232 KachelY 43672 -0.43488355 -0.89468919 -24.916992 -51.261915
    Oben rechts KachelX + 1 28233 KachelY 43672 -0.43478768 -0.89468919 -24.911499 -51.261915
    Unten links KachelX 28232 KachelY + 1 43673 -0.43488355 -0.89474919 -24.916992 -51.265352
    Unten rechts KachelX + 1 28233 KachelY + 1 43673 -0.43478768 -0.89474919 -24.911499 -51.265352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89468919--0.89474919) × R
    5.9999999999949e-05 × 6371000     		dl = 382.259999999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89468919--0.89474919) × R
    5.9999999999949e-05 × 6371000     		dr = 382.259999999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43488355--0.43478768) × cos(-0.89468919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625761282958258 × 6371000     		do = 382.207338570405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43488355--0.43478768) × cos(-0.89474919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625714480954357 × 6371000     		du = 382.178752478811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89468919)-sin(-0.89474919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625761282958258-0.625714480954357)×R²
    abs(-0.43478768--0.43488355)×4.68020039012806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68020039012806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68020039012806e-05×40589641000000     		ar = 146097.113626215m²