Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28232 / 21544
↖ ↑ ↗
← N 52.348763°
W 24.916992°		 ← 373.10 m → N 52.348763°
W 24.911499°		 →
↑
373.15 m
↓
↑
373.15 m
↓
N 52.345408°
W 24.916992°		 ← 373.13 m →
139 228 m²		 N 52.345408°
W 24.911499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430793762207031 y=0.328742980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430793762207031 × 216)
    floor (0.430793762207031 × 65536)
    floor (28232.5)     		tx = 28232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328742980957031 × 216)
    floor (0.328742980957031 × 65536)
    floor (21544.5)     		ty = 21544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28232 / 21544 ti = "16/28232/21544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28232/21544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28232 ÷ 216
    28232 ÷ 65536     		x = 0.4307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21544 ÷ 216
    21544 ÷ 65536     		y = 0.3287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3287353515625 × 2 - 1) × π
    0.342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07608752267102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43488355} λ = -0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07608752267102))-π/2
    2×atan(2.93318106752668)-π/2
    2×1.24222730182429-π/2
    2.48445460364858-1.57079632675     		φ = 0.91365828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91365828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.348763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28232 KachelY 21544 -0.43488355 0.91365828 -24.916992 52.348763
    Oben rechts KachelX + 1 28233 KachelY 21544 -0.43478768 0.91365828 -24.911499 52.348763
    Unten links KachelX 28232 KachelY + 1 21545 -0.43488355 0.91359971 -24.916992 52.345408
    Unten rechts KachelX + 1 28233 KachelY + 1 21545 -0.43478768 0.91359971 -24.911499 52.345408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91365828-0.91359971) × R
    5.8570000000091e-05 × 6371000     		dl = 373.14947000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91365828-0.91359971) × R
    5.8570000000091e-05 × 6371000     		dr = 373.14947000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43488355--0.43478768) × cos(0.91365828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610853423311212 × 6371000     		do = 373.101800221113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43488355--0.43478768) × cos(0.91359971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610899794692268 × 6371000     		du = 373.13012329354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91365828)-sin(0.91359971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610853423311212-0.610899794692268)×R²
    abs(-0.43478768--0.43488355)×4.63713810562316e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63713810562316e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63713810562316e-05×40589641000000     		ar = 139228.023418052m²