Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28231 / 8109
↖ ↑ ↗
← N 79.256658°
W 24.922486°		 ← 113.87 m → N 79.256658°
W 24.916992°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
N 79.255634°
W 24.922486°		 ← 113.88 m →
12 972 m²		 N 79.255634°
W 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430778503417969 y=0.123741149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430778503417969 × 216)
    floor (0.430778503417969 × 65536)
    floor (28231.5)     		tx = 28231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123741149902344 × 216)
    floor (0.123741149902344 × 65536)
    floor (8109.5)     		ty = 8109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28231 / 8109 ti = "16/28231/8109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28231/8109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28231 ÷ 216
    28231 ÷ 65536     		x = 0.430770874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8109 ÷ 216
    8109 ÷ 65536     		y = 0.123733520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430770874023438 × 2 - 1) × π
    -0.138458251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43497943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123733520507812 × 2 - 1) × π
    0.752532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36415201546193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43497943} λ = -0.43497943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36415201546193))-π/2
    2×atan(10.6350166630345)-π/2
    2×1.47704298190274-π/2
    2.95408596380549-1.57079632675     		φ = 1.38328964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43497943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.922486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38328964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.256658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28231 KachelY 8109 -0.43497943 1.38328964 -24.922486 79.256658
    Oben rechts KachelX + 1 28232 KachelY 8109 -0.43488355 1.38328964 -24.916992 79.256658
    Unten links KachelX 28231 KachelY + 1 8110 -0.43497943 1.38327176 -24.922486 79.255634
    Unten rechts KachelX + 1 28232 KachelY + 1 8110 -0.43488355 1.38327176 -24.916992 79.255634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38328964-1.38327176) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dl = 113.913480000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38328964-1.38327176) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dr = 113.913480000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43497943--0.43488355) × cos(1.38328964) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.186409866355638 × 6371000     		do = 113.868742749935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43497943--0.43488355) × cos(1.38327176) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.186427432926392 × 6371000     		du = 113.879473315679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38328964)-sin(1.38327176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186409866355638-0.186427432926392)×R²
    abs(-0.43488355--0.43497943)×1.75665707536077e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.75665707536077e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.75665707536077e-05×40589641000000     		ar = 12971.7959285867m²