Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28230 / 8108
↖ ↑ ↗
← N 79.257682°
W 24.927978°		 ← 113.85 m → N 79.257682°
W 24.922486°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
N 79.256658°
W 24.927978°		 ← 113.86 m →
12 962 m²		 N 79.256658°
W 24.922486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430763244628906 y=0.123725891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430763244628906 × 216)
    floor (0.430763244628906 × 65536)
    floor (28230.5)     		tx = 28230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123725891113281 × 216)
    floor (0.123725891113281 × 65536)
    floor (8108.5)     		ty = 8108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28230 / 8108 ti = "16/28230/8108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28230/8108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28230 ÷ 216
    28230 ÷ 65536     		x = 0.430755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8108 ÷ 216
    8108 ÷ 65536     		y = 0.12371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.13848876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43507530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12371826171875 × 2 - 1) × π
    0.7525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36424788926117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43507530} λ = -0.43507530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36424788926117))-π/2
    2×atan(10.6360363313659)-π/2
    2×1.4770519173931-π/2
    2.95410383478619-1.57079632675     		φ = 1.38330751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43507530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.927978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38330751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.257682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28230 KachelY 8108 -0.43507530 1.38330751 -24.927978 79.257682
    Oben rechts KachelX + 1 28231 KachelY 8108 -0.43497943 1.38330751 -24.922486 79.257682
    Unten links KachelX 28230 KachelY + 1 8109 -0.43507530 1.38328964 -24.927978 79.256658
    Unten rechts KachelX + 1 28231 KachelY + 1 8109 -0.43497943 1.38328964 -24.922486 79.256658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38330751-1.38328964) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38330751-1.38328964) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43507530--0.43497943) × cos(1.38330751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186392309550045 × 6371000     		do = 113.846143095219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43507530--0.43497943) × cos(1.38328964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186409866355638 × 6371000     		du = 113.856866577356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38330751)-sin(1.38328964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186392309550045-0.186409866355638)×R²
    abs(-0.43497943--0.43507530)×1.75568055936492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75568055936492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75568055936492e-05×40589641000000     		ar = 12961.9676399434m²