Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2823 / 4882
↖ ↑ ↗
← S 32.620870°
W 55.942383°		 ← 4 115.68 m → S 32.620870°
W 55.898437°		 →
↑
4 114.84 m
↓
↑
4 114.84 m
↓
S 32.657876°
W 55.942383°		 ← 4 113.98 m →
16 931 849 m²		 S 32.657876°
W 55.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34466552734375 y=0.59600830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34466552734375 × 213)
    floor (0.34466552734375 × 8192)
    floor (2823.5)     		tx = 2823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59600830078125 × 213)
    floor (0.59600830078125 × 8192)
    floor (4882.5)     		ty = 4882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2823 / 4882 ti = "13/2823/4882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2823/4882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2823 ÷ 213
    2823 ÷ 8192     		x = 0.3446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4882 ÷ 213
    4882 ÷ 8192     		y = 0.595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.310791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97637877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.19189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.602854449621826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97637877} λ = -0.97637877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602854449621826))-π/2
    2×atan(0.547247314627492)-π/2
    2×0.500727368623626-π/2
    1.00145473724725-1.57079632675     		φ = -0.56934159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97637877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56934159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.620870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2823 KachelY 4882 -0.97637877 -0.56934159 -55.942383 -32.620870
    Oben rechts KachelX + 1 2824 KachelY 4882 -0.97561178 -0.56934159 -55.898437 -32.620870
    Unten links KachelX 2823 KachelY + 1 4883 -0.97637877 -0.56998746 -55.942383 -32.657876
    Unten rechts KachelX + 1 2824 KachelY + 1 4883 -0.97561178 -0.56998746 -55.898437 -32.657876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56934159--0.56998746) × R
    0.000645870000000048 × 6371000     		dl = 4114.83777000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56934159--0.56998746) × R
    0.000645870000000048 × 6371000     		dr = 4114.83777000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97637877--0.97561178) × cos(-0.56934159) × R
    0.000766989999999912 × 0.842256091790206 × 6371000     		do = 4115.67874099399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97637877--0.97561178) × cos(-0.56998746) × R
    0.000766989999999912 × 0.841907742081965 × 6371000     		du = 4113.9765324821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56934159)-sin(-0.56998746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842256091790206-0.841907742081965)×R²
    abs(-0.97561178--0.97637877)×0.000348349708241491×R²
    0.000766989999999912×0.000348349708241491×6371000²
    0.000766989999999912×0.000348349708241491×40589641000000     		ar = 16931848.7652787m²