Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28229 / 21566
↖ ↑ ↗
← N 52.274880°
W 24.933471°		 ← 373.73 m → N 52.274880°
W 24.927978°		 →
↑
373.72 m
↓
↑
373.72 m
↓
N 52.271519°
W 24.933471°		 ← 373.75 m →
139 675 m²		 N 52.271519°
W 24.927978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430747985839844 y=0.329078674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430747985839844 × 216)
    floor (0.430747985839844 × 65536)
    floor (28229.5)     		tx = 28229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329078674316406 × 216)
    floor (0.329078674316406 × 65536)
    floor (21566.5)     		ty = 21566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28229 / 21566 ti = "16/28229/21566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28229/21566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28229 ÷ 216
    28229 ÷ 65536     		x = 0.430740356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21566 ÷ 216
    21566 ÷ 65536     		y = 0.329071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430740356445312 × 2 - 1) × π
    -0.138519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43517117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329071044921875 × 2 - 1) × π
    0.34185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07397829908774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43517117} λ = -0.43517117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07397829908774))-π/2
    2×atan(2.9270008528635)-π/2
    2×1.24158255057093-π/2
    2.48316510114185-1.57079632675     		φ = 0.91236877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43517117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.933471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91236877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.274880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28229 KachelY 21566 -0.43517117 0.91236877 -24.933471 52.274880
    Oben rechts KachelX + 1 28230 KachelY 21566 -0.43507530 0.91236877 -24.927978 52.274880
    Unten links KachelX 28229 KachelY + 1 21567 -0.43517117 0.91231011 -24.933471 52.271519
    Unten rechts KachelX + 1 28230 KachelY + 1 21567 -0.43507530 0.91231011 -24.927978 52.271519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91236877-0.91231011) × R
    5.86600000000992e-05 × 6371000     		dl = 373.722860000632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91236877-0.91231011) × R
    5.86600000000992e-05 × 6371000     		dr = 373.722860000632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43517117--0.43507530) × cos(0.91236877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611873876579493 × 6371000     		do = 373.725080597236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43517117--0.43507530) × cos(0.91231011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611920272967328 × 6371000     		du = 373.753418943497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91236877)-sin(0.91231011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611873876579493-0.611920272967328)×R²
    abs(-0.43507530--0.43517117)×4.63963878345464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63963878345464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63963878345464e-05×40589641000000     		ar = 139674.901358631m²