Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28228 / 8107
↖ ↑ ↗
← N 79.258706°
W 24.938965°		 ← 113.85 m → N 79.258706°
W 24.933471°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
N 79.257682°
W 24.938965°		 ← 113.86 m →
12 962 m²		 N 79.257682°
W 24.933471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430732727050781 y=0.123710632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430732727050781 × 216)
    floor (0.430732727050781 × 65536)
    floor (28228.5)     		tx = 28228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123710632324219 × 216)
    floor (0.123710632324219 × 65536)
    floor (8107.5)     		ty = 8107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28228 / 8107 ti = "16/28228/8107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28228/8107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28228 ÷ 216
    28228 ÷ 65536     		x = 0.43072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8107 ÷ 216
    8107 ÷ 65536     		y = 0.123703002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.1385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43526705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123703002929688 × 2 - 1) × π
    0.752593994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36434376306041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43526705} λ = -0.43526705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36434376306041))-π/2
    2×atan(10.6370560974615)-π/2
    2×1.47706085204182-π/2
    2.95412170408365-1.57079632675     		φ = 1.38332538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43526705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.938965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38332538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.258706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28228 KachelY 8107 -0.43526705 1.38332538 -24.938965 79.258706
    Oben rechts KachelX + 1 28229 KachelY 8107 -0.43517117 1.38332538 -24.933471 79.258706
    Unten links KachelX 28228 KachelY + 1 8108 -0.43526705 1.38330751 -24.938965 79.257682
    Unten rechts KachelX + 1 28229 KachelY + 1 8108 -0.43517117 1.38330751 -24.933471 79.257682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38332538-1.38330751) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38332538-1.38330751) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43526705--0.43517117) × cos(1.38332538) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.186374752684929 × 6371000     		do = 113.847293512214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43526705--0.43517117) × cos(1.38330751) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.186392309550045 × 6371000     		du = 113.858018149254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38332538)-sin(1.38330751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186374752684929-0.186392309550045)×R²
    abs(-0.43517117--0.43526705)×1.75568651155922e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.75568651155922e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.75568651155922e-05×40589641000000     		ar = 12962.098680625m²