Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28226 / 7945
↖ ↑ ↗
← N 79.423300°
W 24.949951°		 ← 112.12 m → N 79.423300°
W 24.944458°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
N 79.422292°
W 24.949951°		 ← 112.13 m →
12 573 m²		 N 79.422292°
W 24.944458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430702209472656 y=0.121238708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430702209472656 × 216)
    floor (0.430702209472656 × 65536)
    floor (28226.5)     		tx = 28226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121238708496094 × 216)
    floor (0.121238708496094 × 65536)
    floor (7945.5)     		ty = 7945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28226 / 7945 ti = "16/28226/7945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28226/7945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28226 ÷ 216
    28226 ÷ 65536     		x = 0.430694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7945 ÷ 216
    7945 ÷ 65536     		y = 0.121231079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430694580078125 × 2 - 1) × π
    -0.13861083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43545880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121231079101562 × 2 - 1) × π
    0.757537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37987531853731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43545880} λ = -0.43545880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37987531853731))-π/2
    2×atan(10.8035557768181)-π/2
    2×1.47849720811607-π/2
    2.95699441623214-1.57079632675     		φ = 1.38619809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43545880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.949951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38619809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.423300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28226 KachelY 7945 -0.43545880 1.38619809 -24.949951 79.423300
    Oben rechts KachelX + 1 28227 KachelY 7945 -0.43536292 1.38619809 -24.944458 79.423300
    Unten links KachelX 28226 KachelY + 1 7946 -0.43545880 1.38618049 -24.949951 79.422292
    Unten rechts KachelX + 1 28227 KachelY + 1 7946 -0.43536292 1.38618049 -24.944458 79.422292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38619809-1.38618049) × R
    1.759999999984e-05 × 6371000     		dl = 112.12959999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38619809-1.38618049) × R
    1.759999999984e-05 × 6371000     		dr = 112.12959999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43545880--0.43536292) × cos(1.38619809) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.183551611074457 × 6371000     		do = 112.122773281208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43545880--0.43536292) × cos(1.38618049) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.183568912023334 × 6371000     		du = 112.133341591435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38619809)-sin(1.38618049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183551611074457-0.183568912023334)×R²
    abs(-0.43536292--0.43545880)×1.73009488772247e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.73009488772247e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.73009488772247e-05×40589641000000     		ar = 12572.8742295396m²