Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28226 / 37312
↖ ↑ ↗
← N 61.015725°
W102.474975°		 ← 147.97 m → N 61.015725°
W102.472229°		 →
↑
148 m
↓
↑
148 m
↓
N 61.014394°
W102.474975°		 ← 147.98 m →
21 900 m²		 N 61.014394°
W102.472229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215351104736328 y=0.284671783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215351104736328 × 217)
    floor (0.215351104736328 × 131072)
    floor (28226.5)     		tx = 28226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284671783447266 × 217)
    floor (0.284671783447266 × 131072)
    floor (37312.5)     		ty = 37312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28226 / 37312 ti = "17/28226/37312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28226/37312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28226 ÷ 217
    28226 ÷ 131072     		x = 0.215347290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37312 ÷ 217
    37312 ÷ 131072     		y = 0.28466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215347290039062 × 2 - 1) × π
    -0.569305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.78852572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28466796875 × 2 - 1) × π
    0.4306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.35297105487646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78852572} λ = -1.78852572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35297105487646))-π/2
    2×atan(3.86890319557372)-π/2
    2×1.31786081013542-π/2
    2.63572162027085-1.57079632675     		φ = 1.06492529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78852572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.474975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06492529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.015725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28226 KachelY 37312 -1.78852572 1.06492529 -102.474975 61.015725
    Oben rechts KachelX + 1 28227 KachelY 37312 -1.78847779 1.06492529 -102.472229 61.015725
    Unten links KachelX 28226 KachelY + 1 37313 -1.78852572 1.06490206 -102.474975 61.014394
    Unten rechts KachelX + 1 28227 KachelY + 1 37313 -1.78847779 1.06490206 -102.472229 61.014394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06492529-1.06490206) × R
    2.32299999998187e-05 × 6371000     		dl = 147.998329998845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06492529-1.06490206) × R
    2.32299999998187e-05 × 6371000     		dr = 147.998329998845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78852572--1.78847779) × cos(1.06492529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.484569565863171 × 6371000     		do = 147.969146308287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78852572--1.78847779) × cos(1.06490206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.484589886238305 × 6371000     		du = 147.975351379288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06492529)-sin(1.06490206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.484569565863171-0.484589886238305)×R²
    abs(-1.78847779--1.78852572)×2.0320375133831e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0320375133831e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0320375133831e-05×40589641000000     		ar = 21899.6457161179m²