Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28225 / 37315
↖ ↑ ↗
← N 61.011732°
W102.477722°		 ← 148.02 m → N 61.011732°
W102.474975°		 →
↑
148 m
↓
↑
148 m
↓
N 61.010401°
W102.477722°		 ← 148.02 m →
21 907 m²		 N 61.010401°
W102.474975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215343475341797 y=0.284694671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215343475341797 × 217)
    floor (0.215343475341797 × 131072)
    floor (28225.5)     		tx = 28225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284694671630859 × 217)
    floor (0.284694671630859 × 131072)
    floor (37315.5)     		ty = 37315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28225 / 37315 ti = "17/28225/37315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28225/37315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28225 ÷ 217
    28225 ÷ 131072     		x = 0.215339660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37315 ÷ 217
    37315 ÷ 131072     		y = 0.284690856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215339660644531 × 2 - 1) × π
    -0.569320678710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.78857366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.284690856933594 × 2 - 1) × π
    0.430618286132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.3528272441776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78857366} λ = -1.78857366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3528272441776))-π/2
    2×atan(3.86834684590681)-π/2
    2×1.31782596480001-π/2
    2.63565192960002-1.57079632675     		φ = 1.06485560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78857366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.477722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06485560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.011732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28225 KachelY 37315 -1.78857366 1.06485560 -102.477722 61.011732
    Oben rechts KachelX + 1 28226 KachelY 37315 -1.78852572 1.06485560 -102.474975 61.011732
    Unten links KachelX 28225 KachelY + 1 37316 -1.78857366 1.06483237 -102.477722 61.010401
    Unten rechts KachelX + 1 28226 KachelY + 1 37316 -1.78852572 1.06483237 -102.474975 61.010401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06485560-1.06483237) × R
    2.32300000000407e-05 × 6371000     		dl = 147.998330000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06485560-1.06483237) × R
    2.32300000000407e-05 × 6371000     		dr = 147.998330000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78857366--1.78852572) × cos(1.06485560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.48463052620406 × 6371000     		do = 148.018637092367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78857366--1.78852572) × cos(1.06483237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.484650845794659 × 6371000     		du = 148.024843218363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06485560)-sin(1.06483237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48463052620406-0.484650845794659)×R²
    abs(-1.78852572--1.78857366)×2.03195905992271e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03195905992271e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03195905992271e-05×40589641000000     		ar = 21906.9703477279m²