Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28225 / 21570
↖ ↑ ↗
← N 52.261434°
W 24.955444°		 ← 373.84 m → N 52.261434°
W 24.949951°		 →
↑
373.85 m
↓
↑
373.85 m
↓
N 52.258072°
W 24.955444°		 ← 373.87 m →
139 765 m²		 N 52.258072°
W 24.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430686950683594 y=0.329139709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430686950683594 × 216)
    floor (0.430686950683594 × 65536)
    floor (28225.5)     		tx = 28225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329139709472656 × 216)
    floor (0.329139709472656 × 65536)
    floor (21570.5)     		ty = 21570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28225 / 21570 ti = "16/28225/21570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28225/21570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28225 ÷ 216
    28225 ÷ 65536     		x = 0.430679321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21570 ÷ 216
    21570 ÷ 65536     		y = 0.329132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430679321289062 × 2 - 1) × π
    -0.138641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43555467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329132080078125 × 2 - 1) × π
    0.34173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07359480389078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43555467} λ = -0.43555467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07359480389078))-π/2
    2×atan(2.92587857730232)-π/2
    2×1.24146520743045-π/2
    2.4829304148609-1.57079632675     		φ = 0.91213409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43555467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.955444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91213409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.261434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28225 KachelY 21570 -0.43555467 0.91213409 -24.955444 52.261434
    Oben rechts KachelX + 1 28226 KachelY 21570 -0.43545880 0.91213409 -24.949951 52.261434
    Unten links KachelX 28225 KachelY + 1 21571 -0.43555467 0.91207541 -24.955444 52.258072
    Unten rechts KachelX + 1 28226 KachelY + 1 21571 -0.43545880 0.91207541 -24.949951 52.258072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91213409-0.91207541) × R
    5.86799999999776e-05 × 6371000     		dl = 373.850279999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91213409-0.91207541) × R
    5.86799999999776e-05 × 6371000     		dr = 373.850279999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43555467--0.43545880) × cos(0.91213409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612059481128972 × 6371000     		do = 373.838445586114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43555467--0.43545880) × cos(0.91207541) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612105884907469 × 6371000     		du = 373.866788446502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91213409)-sin(0.91207541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612059481128972-0.612105884907469)×R²
    abs(-0.43545880--0.43555467)×4.64037784969618e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64037784969618e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64037784969618e-05×40589641000000     		ar = 139764.905590306m²