Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28225 / 21569
↖ ↑ ↗
← N 52.264796°
W 24.955444°		 ← 373.81 m → N 52.264796°
W 24.949951°		 →
↑
373.85 m
↓
↑
373.85 m
↓
N 52.261434°
W 24.955444°		 ← 373.84 m →
139 754 m²		 N 52.261434°
W 24.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430686950683594 y=0.329124450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430686950683594 × 216)
    floor (0.430686950683594 × 65536)
    floor (28225.5)     		tx = 28225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329124450683594 × 216)
    floor (0.329124450683594 × 65536)
    floor (21569.5)     		ty = 21569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28225 / 21569 ti = "16/28225/21569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28225/21569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28225 ÷ 216
    28225 ÷ 65536     		x = 0.430679321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21569 ÷ 216
    21569 ÷ 65536     		y = 0.329116821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430679321289062 × 2 - 1) × π
    -0.138641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43555467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329116821289062 × 2 - 1) × π
    0.341766357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07369067769002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43555467} λ = -0.43555467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07369067769002))-π/2
    2×atan(2.9261591058451)-π/2
    2×1.24149454655218-π/2
    2.48298909310436-1.57079632675     		φ = 0.91219277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43555467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.955444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91219277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.264796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28225 KachelY 21569 -0.43555467 0.91219277 -24.955444 52.264796
    Oben rechts KachelX + 1 28226 KachelY 21569 -0.43545880 0.91219277 -24.949951 52.264796
    Unten links KachelX 28225 KachelY + 1 21570 -0.43555467 0.91213409 -24.955444 52.261434
    Unten rechts KachelX + 1 28226 KachelY + 1 21570 -0.43545880 0.91213409 -24.949951 52.261434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91219277-0.91213409) × R
    5.86799999999776e-05 × 6371000     		dl = 373.850279999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91219277-0.91213409) × R
    5.86799999999776e-05 × 6371000     		dr = 373.850279999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43555467--0.43545880) × cos(0.91219277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612013075242945 × 6371000     		do = 373.810101438473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43555467--0.43545880) × cos(0.91213409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612059481128972 × 6371000     		du = 373.838445586114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91219277)-sin(0.91213409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612013075242945-0.612059481128972)×R²
    abs(-0.43545880--0.43555467)×4.64058860272232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64058860272232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64058860272232e-05×40589641000000     		ar = 139754.309363757m²