Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28222 / 22188
↖ ↑ ↗
← N 75.729181°
W102.485962°		 ← 75.27 m → N 75.729181°
W102.483216°		 →
↑
75.31 m
↓
↑
75.31 m
↓
N 75.728503°
W102.485962°		 ← 75.28 m →
5 669 m²		 N 75.728503°
W102.483216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215320587158203 y=0.169284820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215320587158203 × 217)
    floor (0.215320587158203 × 131072)
    floor (28222.5)     		tx = 28222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169284820556641 × 217)
    floor (0.169284820556641 × 131072)
    floor (22188.5)     		ty = 22188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28222 / 22188 ti = "17/28222/22188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28222/22188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28222 ÷ 217
    28222 ÷ 131072     		x = 0.215316772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22188 ÷ 217
    22188 ÷ 131072     		y = 0.169281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215316772460938 × 2 - 1) × π
    -0.569366455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78871747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169281005859375 × 2 - 1) × π
    0.66143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07796872473019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78871747} λ = -1.78871747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07796872473019))-π/2
    2×atan(7.98822613690374)-π/2
    2×1.44625993303085-π/2
    2.8925198660617-1.57079632675     		φ = 1.32172354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78871747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.485962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32172354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.729181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28222 KachelY 22188 -1.78871747 1.32172354 -102.485962 75.729181
    Oben rechts KachelX + 1 28223 KachelY 22188 -1.78866954 1.32172354 -102.483216 75.729181
    Unten links KachelX 28222 KachelY + 1 22189 -1.78871747 1.32171172 -102.485962 75.728503
    Unten rechts KachelX + 1 28223 KachelY + 1 22189 -1.78866954 1.32171172 -102.483216 75.728503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32172354-1.32171172) × R
    1.18200000001067e-05 × 6371000     		dl = 75.3052200006801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32172354-1.32171172) × R
    1.18200000001067e-05 × 6371000     		dr = 75.3052200006801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78871747--1.78866954) × cos(1.32172354) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.246505464641658 × 6371000     		do = 75.273409089116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78871747--1.78866954) × cos(1.32171172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.246516919875803 × 6371000     		du = 75.2769070826685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32172354)-sin(1.32171172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246505464641658-0.246516919875803)×R²
    abs(-1.78866954--1.78871747)×1.14552341444196e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.14552341444196e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.14552341444196e-05×40589641000000     		ar = 5668.61234030475m²