Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28221 / 6973
↖ ↑ ↗
← N 80.359756°
W 24.977417°		 ← 102.29 m → N 80.359756°
W 24.971924°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
N 80.358835°
W 24.977417°		 ← 102.30 m →
10 467 m²		 N 80.358835°
W 24.971924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430625915527344 y=0.106407165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430625915527344 × 216)
    floor (0.430625915527344 × 65536)
    floor (28221.5)     		tx = 28221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106407165527344 × 216)
    floor (0.106407165527344 × 65536)
    floor (6973.5)     		ty = 6973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28221 / 6973 ti = "16/28221/6973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28221/6973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28221 ÷ 216
    28221 ÷ 65536     		x = 0.430618286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6973 ÷ 216
    6973 ÷ 65536     		y = 0.106399536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430618286132812 × 2 - 1) × π
    -0.138763427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43593817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106399536132812 × 2 - 1) × π
    0.787200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4730646513987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43593817} λ = -0.43593817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4730646513987))-π/2
    2×atan(11.8587341054167)-π/2
    2×1.48666932304332-π/2
    2.97333864608664-1.57079632675     		φ = 1.40254232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43593817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.977417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40254232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.359756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28221 KachelY 6973 -0.43593817 1.40254232 -24.977417 80.359756
    Oben rechts KachelX + 1 28222 KachelY 6973 -0.43584229 1.40254232 -24.971924 80.359756
    Unten links KachelX 28221 KachelY + 1 6974 -0.43593817 1.40252626 -24.977417 80.358835
    Unten rechts KachelX + 1 28222 KachelY + 1 6974 -0.43584229 1.40252626 -24.971924 80.358835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40254232-1.40252626) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dl = 102.318260000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40254232-1.40252626) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dr = 102.318260000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43593817--0.43584229) × cos(1.40254232) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.167461267759762 × 6371000     		do = 102.293963253719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43593817--0.43584229) × cos(1.40252626) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.167477100949376 × 6371000     		du = 102.303634981028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40254232)-sin(1.40252626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167461267759762-0.167477100949376)×R²
    abs(-0.43584229--0.43593817)×1.58331896141506e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.58331896141506e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.58331896141506e-05×40589641000000     		ar = 10467.035126246m²