Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28221 / 22187
↖ ↑ ↗
← N 75.729858°
W102.488709°		 ← 75.29 m → N 75.729858°
W102.485962°		 →
↑
75.31 m
↓
↑
75.31 m
↓
N 75.729181°
W102.488709°		 ← 75.29 m →
5 670 m²		 N 75.729181°
W102.485962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215312957763672 y=0.169277191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215312957763672 × 217)
    floor (0.215312957763672 × 131072)
    floor (28221.5)     		tx = 28221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169277191162109 × 217)
    floor (0.169277191162109 × 131072)
    floor (22187.5)     		ty = 22187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28221 / 22187 ti = "17/28221/22187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28221/22187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28221 ÷ 217
    28221 ÷ 131072     		x = 0.215309143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22187 ÷ 217
    22187 ÷ 131072     		y = 0.169273376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215309143066406 × 2 - 1) × π
    -0.569381713867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.78876541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169273376464844 × 2 - 1) × π
    0.661453247070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.07801666162981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78876541} λ = -1.78876541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07801666162981))-π/2
    2×atan(7.98860907687662)-π/2
    2×1.44626584124748-π/2
    2.89253168249496-1.57079632675     		φ = 1.32173536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78876541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.488709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32173536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.729858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28221 KachelY 22187 -1.78876541 1.32173536 -102.488709 75.729858
    Oben rechts KachelX + 1 28222 KachelY 22187 -1.78871747 1.32173536 -102.485962 75.729858
    Unten links KachelX 28221 KachelY + 1 22188 -1.78876541 1.32172354 -102.488709 75.729181
    Unten rechts KachelX + 1 28222 KachelY + 1 22188 -1.78871747 1.32172354 -102.485962 75.729181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32173536-1.32172354) × R
    1.18199999998847e-05 × 6371000     		dl = 75.3052199992654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32173536-1.32172354) × R
    1.18199999998847e-05 × 6371000     		dr = 75.3052199992654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78876541--1.78871747) × cos(1.32173536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.246494009373074 × 6371000     		do = 75.2856152182887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78876541--1.78871747) × cos(1.32172354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.246505464641658 × 6371000     		du = 75.2891139521729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32173536)-sin(1.32172354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246494009373074-0.246505464641658)×R²
    abs(-1.78871747--1.78876541)×1.14552685840652e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14552685840652e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14552685840652e-05×40589641000000     		ar = 5669.53155329909m²