Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2822 / 5959
↖ ↑ ↗
← S 63.054959°
W 55.986328°		 ← 2 214.24 m → S 63.054959°
W 55.942383°		 →
↑
2 213.48 m
↓
↑
2 213.48 m
↓
S 63.074866°
W 55.986328°		 ← 2 212.73 m →
4 899 502 m²		 S 63.074866°
W 55.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34454345703125 y=0.72747802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34454345703125 × 213)
    floor (0.34454345703125 × 8192)
    floor (2822.5)     		tx = 2822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72747802734375 × 213)
    floor (0.72747802734375 × 8192)
    floor (5959.5)     		ty = 5959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2822 / 5959 ti = "13/2822/5959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2822/5959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2822 ÷ 213
    2822 ÷ 8192     		x = 0.344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5959 ÷ 213
    5959 ÷ 8192     		y = 0.7274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.31103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97714576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.454833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42890310387463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97714576} λ = -0.97714576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42890310387463))-π/2
    2×atan(0.23957156329197)-π/2
    2×0.235139838565744-π/2
    0.470279677131488-1.57079632675     		φ = -1.10051665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97714576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10051665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.054959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2822 KachelY 5959 -0.97714576 -1.10051665 -55.986328 -63.054959
    Oben rechts KachelX + 1 2823 KachelY 5959 -0.97637877 -1.10051665 -55.942383 -63.054959
    Unten links KachelX 2822 KachelY + 1 5960 -0.97714576 -1.10086408 -55.986328 -63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 2823 KachelY + 1 5960 -0.97637877 -1.10086408 -55.942383 -63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10051665--1.10086408) × R
    0.000347429999999926 × 6371000     		dl = 2213.47652999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10051665--1.10086408) × R
    0.000347429999999926 × 6371000     		dr = 2213.47652999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97714576--0.97637877) × cos(-1.10051665) × R
    0.000766990000000023 × 0.453135618624911 × 6371000     		do = 2214.24415987069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97714576--0.97637877) × cos(-1.10086408) × R
    0.000766990000000023 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 2212.73061306868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10051665)-sin(-1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453135618624911-0.452825877730534)×R²
    abs(-0.97637877--0.97714576)×0.000309740894376409×R²
    0.000766990000000023×0.000309740894376409×6371000²
    0.000766990000000023×0.000309740894376409×40589641000000     		ar = 4899502.42868229m²